Salut les kheys,

Des idées pour le problème suivant :

Trouvez moi tous les entiers x, y, z positifs tels que x^3 + y^3 + z^3 = (xyz)^2

Aux premières abords j'essayerai d'utiliser un peu les parités pour voir si ça peut aider. Je dis ça par intuition hein rien de plus

Le 14 janvier 2021 à 20:39:01 CarreDas69 a écrit :
Aux premières abords j'essayerai d'utiliser un peu les parités pour voir si ça peut aider. Je dis ça par intuition hein rien de plus

Ca va pas être utile du tout, ce qu'il faut faire c'est supposer SPDG que x>=y>=z>=0 et tu essaye de majorer z et y pour avoir un nombre de cas fini à traiter, j'ai déjà fait ça qq part mais je sais plus trop comment faire.

Le 14 janvier 2021 à 13:39:39 Eauman a écrit :
Salut les kheys,

Des idées pour le problème suivant :

Trouvez moi tous les entiers x, y, z positifs tels que x^3 + y^3 + z^3 = (xyz)^2

L'équation étant symétrique en x,y,z, on peut supposer sans perte de généralité x <= y <= z.

Si z = 0, alors x=y=0 (comme x,y sont positifs). On suppose désormais z > 0. L'équation à résoudre se réécrit :

z = x²y² - (x^3+y^3)/z²

Montre successivement (ne pas oublier x <= y <= z pour le ii) notamment ...) :

i) x^3 + y^3 >= z²
ii) -z <= x²y² - (x+y) <= z
iii) xy <= 2(1/x + 1/y) + 1/x^3 + 1/y^3

Déduis de iii) une contradiction dès que x > 1.

Déduis de iii) une contradiction (avec x = 1) dès que y > 3.

Plus qu'à tester à la main les cas où y <= 3. Tu dois alors trouver (x,y,z) = (1,2,3) et permutations.