Yo, j'ai un petit soucis concernant cet exo

la 1) j'y arrive

1)

• On prend Fn la filtration naturelle de (ε) n>=1, on voit très bien que Mn est Fn mesurable puisque c'est la somme des ε
  • On voit que Mn est intégrable puisque (ε) est une suite de v.a iid sur un espace probabilisé et Mn est la somme des ε
    • On calcule E[Mn+1|Fn]=somme pour i allant de 1 à n+1 de E[εi|Fn]=Mn + E[εn+1|Fn] = Mn + 0 car l'espérance de εn+1 est nulle.

Donc on a E[Mn+1|Fn]=Mn

Mn est bien une martingale

2)

• On garde la même filtration que précédemment, Nn est bien Fn mesurable
  • Nn également intégrable
    • Là c'est où je bloque, E[Nn+1|Fn]=E[e^(theta*Mn+1)*(2/e^(theta)+e^-(theta)^n+1|Fn]

Je peux quasiment tout sortir puisque c'est des réels sauf Mn+1 et vu qu'on a vu que c'était une martingale dans la question précédente on retrouve Mn
Donc j'ai au final E[Nn+1|Fn]=e^theta*Mn*(2/e^(theta)+e^-(theta)^n+1

Je retrouve quasiment Nn sauf qu'il me reste la puissance n+1 et je sais pas comment retrouver n

Tu peux t'éviter de t'embrouiller avec les calculs en montrant tout simplement que E[N_n+1/N_n | Fn] = 1 . T'as le droit de diviser par Nn parce que c'est une va strictement positive.

ensuite N_n+1/N_n est indépendante de Fn donc ça revient à calculer une espérance simple de E[exp(theta*(epsilon(n+1))*C] avec C = 2/(exp(-theta) + exp(theta), et ça fait bien 1 par définition de la loi de epsilon(n+1)

Le 28 décembre 2020 à 07:31:56 quine_ a écrit :
Tu peux t'éviter de t'embrouiller avec les calculs en montrant tout simplement que E[N_n+1/N_n | Fn] = 1 . T'as le droit de diviser par Nn parce que c'est une va strictement positive.

ensuite N_n+1/N_n est indépendante de Fn donc ça revient à calculer une espérance simple de E[exp(theta*(epsilon(n+1))*C] avec C = 2/(exp(-theta) + exp(theta), '''et ça fait bien 1 par définition de la loi de epsilon(n+1)

'''

Tu pourrais plus expliciter pourquoi ça fait 1 stp ?

Bah E[exp(theta*epsilon(n+1))] = E[exp(-thetha))+exp(theta))/2]