Bonsoir! Avez vous une idée de comment montrer que si un endomorphisme a tous ses espaces propres de dimension 1 alors il est cyclique? J'ai deja montre la réciproque mais là je bute.

Si ton application linéaire se ramène à faire du f : (x1,...,xn) |-> (l1.x1,...,ln.xn), avec les li des scalaires tous distincts, alors en prenant le vecteur x = (1,....,1), la famille {x,f(x),...,f^(n-1)(x)} est libre et engendre tout K^n. (la liberté de cette famille est équivalente à l'inversibilité de la matrice de Vandermonde associée aux scalaires l1,...,ln, ce qui est le cas).

Ca vient de la décomposition de Frobenius : si ton endomorphisme u n'est pas cyclique, comme le polynôme minimal P de u n'est pas égal à son polynôme caractéristique, alors par la décomposition de Frobenius, il existe un diviseur D de P de degré au moins 1 et deux sous-espaces u-stables E_1 et E_2 tels que les restrictions de u à E_1 et E_2 y soient cycliques, de polynômes minimaux/caractéristiques respectifs P et D. Si tu considères une racine lambda de D (et donc de P) dans la clôture algébrique du corps de base, alors tu trouveras un vecteur propre associé à lambda dans E_1, et un autre dans E_2, donc un espace propre de dimension au moins 2.

Merci de vos reponses!

La décomposition de Frobenius c'est la suite du cours donc j'aurais voulu savoir faire sans. Et c'est possible sans parler de clôture algébrique?

Tympole je comprends pas le raisonnement, on pas forcément n valeurs propres distinctes

Tel qu'il faut comprendre ton problème, on est obligé de parler de clôture algébrique je pense : considère la matrice 4x4
0 -1 0 0
1 0 0 0
0 0 0 - 1
0 0 1 0
Son polynôme caractéristique est (x^2 + 1)^2 mais son minimal est x^2 + 1, donc ce n'est pas un endomorphisme cyclique mais pour autant il n'est pas de faux dire que chacun de ses espaces propres (réels) est de dimension 1, dans la mesure où elle n'a pas d'espace propre réel. L'énoncé de ton problème ne devient vrai que si tu considères tous les espaces propres de l'endomorphisme, c'est-à-dire associés à ses valeurs propres dans une clôture algébrique.

Là comme ça je ne vois pas comment résoudre ce problème sans utiliser la base de la démonstration de Frobenius :
1) Montrer qu'il existe un vecteur x tel que le polynôme unitaire de degré minimal tel que P(u)(x) = 0 soit le polynôme minimal annulateur de u, noté \mu.
2) Montrer que l'espace vectoriel engendré par x par u est u-stable (facile) et possède un supplémentaire u-stable G (moins facile).
3) Montrer que le polynôme minimal annulateur de u restreint à G divise \mu (facile).

Le reste est une formalité.

Le 21 décembre 2020 à 13:18:53 Flygskam a écrit :
Tel qu'il faut comprendre ton problème, on est obligé de parler de clôture algébrique je pense : considère la matrice 4x4
0 -1 0 0
1 0 0 0
0 0 0 - 1
0 0 1 0
Son polynôme caractéristique est (x^2 + 1)^2 mais son minimal est x^2 + 1, donc ce n'est pas un endomorphisme cyclique mais pour autant il n'est pas de faux dire que chacun de ses espaces propres (réels) est de dimension 1, dans la mesure où elle n'a pas d'espace propre réel. L'énoncé de ton problème ne devient vrai que si tu considères tous les espaces propres de l'endomorphisme, c'est-à-dire associés à ses valeurs propres dans une clôture algébrique.

Ok merci beaucoup. Le cours était pas clair à ce sujet. Il avait l'air de dire que ca marchait pour n'importe quel corps

Le 21 décembre 2020 à 13:26:40 Flygskam a écrit :
Là comme ça je ne vois pas comment résoudre ce problème sans utiliser la base de la démonstration de Frobenius :
1) Montrer qu'il existe un vecteur x tel que le polynôme unitaire de degré minimal tel que P(u)(x) = 0 soit le polynôme minimal annulateur de u, noté \mu.
2) Montrer que l'espace vectoriel engendré par x par u est u-stable (facile) et possède un supplémentaire u-stable G (moins facile).
3) Montrer que le polynôme minimal annulateur de u restreint à G divise \mu (facile).

Le reste est une formalité.

Ouais ok c'est la démo de frobenius
Le cours disait que yavait une demo bcp plus simple. Pas grave je men contenterai

Merci de tes réponses!

Que se passe-t-il dans un "perfect body" ?