Salut, j'ai qlq questions par rapport à cet exo

Pour le point 7) pour montrer que phi est de classe C infini : comme p est C infini sur R, p est Riemann intégrable sur R donc admet une primitive P. A ce moment je voudrais utiliser le théorème fondamental de l'analyse mais la borne de l'intégrale me gêne car elle est du type ]-oo,x] à la place de [y,x]

Pour montrer que phi est croissante : comme p(t) est >0 alors la valeur de l'intégrale augmente quand x augmente mais bon c'est pas très rigoureux comme argument

Phi nulle sur ]-oo,-1[ : comme p(t) est nulle en dehors de l'intervalle ]-1,1[ l'intégrale de p(t) sur ]-00,-1[

Phi = 1 sur [1,+00[ : je vois pas comment c'est possible car p(t) est nulle en dehors de ]-1,1[

p(t) = e^-(1/(1-t²)) si -1<t<1
0 sinon

p est Riemann intégrable sur R donc admet une primitive P

Non c'est parce que p est continue

Ton intégrale c'est juste une intégrale entre -1 et x (le changement de signe n'est pas un problème car si x<-1 les deux intégrales sont nulles)

Pour montrer que phi est croissante : comme p(t) est >0 alors la valeur de l'intégrale augmente quand x augmente mais bon c'est pas très rigoureux comme argument

C'est correct. Tu reviens à la définition d'une fonction croissante en utilisant la croissance de l'intégrale. Tu peux aussi arguer que la dérivée est positive.

Phi nulle sur ]-oo,-1[ : comme p(t) est nulle en dehors de l'intervalle ]-1,1[ l'intégrale de p(t) sur ]-00,-1[

Phi = 1 sur [1,+00[ : je vois pas comment c'est possible car p(t) est nulle en dehors de ]-1,1[

Ben quand x dépasse 1 on a déjà sommé toute la masse de p...

Le 25 novembre 2020 à 17:04:00 DonDoritos16 a écrit :

p est Riemann intégrable sur R donc admet une primitive P

Non c'est parce que p est continue

Ton intégrale c'est juste une intégrale entre -1 et x (le changement de signe n'est pas un problème car si x<-1 les deux intégrales sont nulles)

Pour montrer que phi est croissante : comme p(t) est >0 alors la valeur de l'intégrale augmente quand x augmente mais bon c'est pas très rigoureux comme argument

C'est correct. Tu reviens à la définition d'une fonction croissante en utilisant la croissance de l'intégrale. Tu peux aussi arguer que la dérivée est positive.

Phi nulle sur ]-oo,-1[ : comme p(t) est nulle en dehors de l'intervalle ]-1,1[ l'intégrale de p(t) sur ]-00,-1[

Phi = 1 sur [1,+00[ : je vois pas comment c'est possible car p(t) est nulle en dehors de ]-1,1[

Ben quand x dépasse 1 on a déjà sommé toute la masse de p...

pour le 1) tout à fait d'accord, je vois pas pq j'ai bloqué dessus alors que je savais que p(t) est nulle en dehors de -1...
Vu que p est C^infini, p admet une primitive P qui est elle même C^infini donc phi(x) = (P(x) - P(1) ) / alpha qui est C^infini par composition

2) ok
3) ok c'est vrai ,je vois pas pq j'ai titlté dessus aussi ...

Merci

Pour la 5) phi est C^infni et défini sur un compact donc phi ainsi que chacune de ses dérivées sont bornées sauf que R n'est pas compact donc je vois pas trop comment faire pour la 5)

Phi est lisse à support compact donc elle et toutes ses dérivées sont bornées.

Le 27 novembre 2020 à 17:04:52 DonDoritos16 a écrit :
Phi est lisse à support compact donc elle et toutes ses dérivées sont bornées.

oui entre temps je m'étais fait la même réfléxion, phi est constante sur un intervalle fermée bornée donc elle et toutes ses dérivées sont bornées ,c'est bien ça ?

constante (même nulle) en dehors d'un intervalle fermé borné plutôt

Le 27 novembre 2020 à 17:08:04 DonDoritos16 a écrit :
constante (même nulle) en dehors d'un intervalle fermé borné plutôt

mais osef de la partie ou phi est nulle car elle est nulle sur un ensemble qui n'est pas compact ?

C'est pas qu'elle est nulle sur un ensemble non compact, c'est que Phi est nulle en dehors d'un compact (donc bornée en dehors dudit compact, et borné sur le compact par continuité... de même pour les dérivées, donc Phi (comme ses dérivées) est globalement bornée).

J'ai une petite question pour le 7)

u_n converge normalement sur lR : j'ai réussi a majoré u_n par M_0 /n!. Or on sait que la série de terme général 1/n! converge. Donc par le critère de Weierstrass, u_n converge normalement vers une fonction S

C'est pas trop dur à deviner que S = a_p * x^p/p!
On a bien que S^(p) (0) = a_p

C'est quoi le vrai argument pour trouver l'expression de la fonction S ?

S n'est pas une (somme de) série entière, le théorème de Borel que tu es en train de démontrer donne à la pelle des fonctions lisses non analytiques On s'en fiche de l'expression de la fonction S, c'est juste la somme d'une certaine série de fonctions. Pour montrer que S est lisse et S^(p)(0)=a_p, applique un critère de dérivation sous la somme...

Le 28 novembre 2020 à 16:19:03 DonDoritos16 a écrit :
S n'est pas une (somme de) série entière, le théorème de Borel que tu es en train de démontrer donne à la pelle des fonctions lisses non analytiques On s'en fiche de l'expression de la fonction S, c'est juste la somme d'une certaine série de fonctions. Pour montrer que S est lisse et S^(p)(0)=a_p, applique un critère de dérivation sous la somme...

Ok je vois donc pour appliquer le critère de dérivation sous la fomme il faut encore que je montre que la série des dérivées de u_n converge uniformément sur R . Ce qui est bien le cas par le critère de Weierstrass

Donc S est de classe de C^infini

et donc S^(p) (0) = la série de un^(p) (0) = a_p , c'est bien ça ?

Oui c'est ça

Juste pour savoir, ces des exos de L2 ? ou de 2e année de prépa peut-être.

Le 28 novembre 2020 à 22:08:45 JRmth a écrit :
Juste pour savoir, ces des exos de L2 ? ou de 2e année de prépa peut-être.

c'est une question d'un sujet centrale