Bonjour,
Dans mon cours de diffusion de spé, la prof a négligé le phénomène de convection. J'ai essayé de déterminer l'équation que vérifie la température en prenant en compte la convection et je trouve ça
C'est correct ?

Ensuite j'ai passé la relation en ordre de grandeur pour obtenir ça :

Puis j'ai déterminé l'équation vérifiée par le fluide lorsque sa température augmente (grâce a Navier-Stockes) et j'obtiens ça après être passé en ordre de grandeur :

Puis finalement :

Ça m'a pas l'air aberrant, le terme en v.grad(T) ça ressemble à une dérivée eulérienne de la température qui serait égal au terme de flux

Et ça dépend des hypothèses que tu as fait sur ton fluide mais tu peux aussi avoir un terme supplémentaire lié à la production de chaleur par cisaillement des particules de fluide

Le 22 novembre 2020 à 15:50:39 [Ban2]PTSI-PT a écrit :
Ça m'a pas l'air aberrant, le terme en v.grad(T) ça ressemble à une dérivée eulérienne de la température qui serait égal au terme de flux

Et ça dépend des hypothèses que tu as fait sur ton fluide mais tu peux aussi avoir un terme supplémentaire lié à la production de chaleur par cisaillement des particules de fluide

J'ai supposé un nombre de Reynolds supérieur a 10^3 pour pouvoir négligé les forces de viscosité dans l'équation de Navier stockes

Le 22 novembre 2020 à 16:04:24 D_Alembert a écrit :

Le 22 novembre 2020 à 15:50:39 [Ban2]PTSI-PT a écrit :
Ça m'a pas l'air aberrant, le terme en v.grad(T) ça ressemble à une dérivée eulérienne de la température qui serait égal au terme de flux

Et ça dépend des hypothèses que tu as fait sur ton fluide mais tu peux aussi avoir un terme supplémentaire lié à la production de chaleur par cisaillement des particules de fluide

J'ai supposé un nombre de Reynolds supérieur a 10^3 pour pouvoir négligé les forces de viscosité dans l'équation de Navier stockes

Ca n'est pas correct, des effets visqueux peuvent etre important a n'importe quel nombre de Reynolds, ca peut etre assez subtil. L'equation de diffusion que tu as trouve est correcte en effet, et s'applique dans pas mal de cas. Mais je sais pas genre si tu fais de la soupe dans un blender et que tu remarques que ca chauffe, ca vient de la viscosité bien que les lames aillent très vite.

https://fr.wikipedia.org/wiki/Équations_de_Navier-Stokes#Formulation_lagrangienne
La derniere equation de ce paragraphe est une forme assez generale du bilan d'energie dans un fluide visqueux. Ce que tu as trouve est un cas particulier. Je pense qu'en spe on n'en attend pas plus, mais juste au cas ou ca t'interesse de voir a quoi ca peut ressembler.

Le 22 novembre 2020 à 16:07:22 blue-tamere a écrit :

Le 22 novembre 2020 à 16:04:24 D_Alembert a écrit :

Le 22 novembre 2020 à 15:50:39 [Ban2]PTSI-PT a écrit :
Ça m'a pas l'air aberrant, le terme en v.grad(T) ça ressemble à une dérivée eulérienne de la température qui serait égal au terme de flux

Et ça dépend des hypothèses que tu as fait sur ton fluide mais tu peux aussi avoir un terme supplémentaire lié à la production de chaleur par cisaillement des particules de fluide

J'ai supposé un nombre de Reynolds supérieur a 10^3 pour pouvoir négligé les forces de viscosité dans l'équation de Navier stockes

Ca n'est pas correct, des effets visqueux peuvent etre important a n'importe quel nombre de Reynolds, ca peut etre assez subtil. L'equation de diffusion que tu as trouve est correcte en effet, et s'applique dans pas mal de cas. Mais je sais pas genre si tu fais de la soupe dans un blender et que tu remarques que ca chauffe, ca vient de la viscosité bien que les lames aillent très vite.

Mais par exemple dans une casserole où on chauffe de l'eau, on peut les négliger non ?

[16:23:21] <D_Alembert>

Le 22 novembre 2020 à 16:07:22 blue-tamere a écrit :

Le 22 novembre 2020 à 16:04:24 D_Alembert a écrit :

Le 22 novembre 2020 à 15:50:39 [Ban2]PTSI-PT a écrit :
Ça m'a pas l'air aberrant, le terme en v.grad(T) ça ressemble à une dérivée eulérienne de la température qui serait égal au terme de flux

Et ça dépend des hypothèses que tu as fait sur ton fluide mais tu peux aussi avoir un terme supplémentaire lié à la production de chaleur par cisaillement des particules de fluide

J'ai supposé un nombre de Reynolds supérieur a 10^3 pour pouvoir négligé les forces de viscosité dans l'équation de Navier stockes

Ca n'est pas correct, des effets visqueux peuvent etre important a n'importe quel nombre de Reynolds, ca peut etre assez subtil. L'equation de diffusion que tu as trouve est correcte en effet, et s'applique dans pas mal de cas. Mais je sais pas genre si tu fais de la soupe dans un blender et que tu remarques que ca chauffe, ca vient de la viscosité bien que les lames aillent très vite.

Mais par exemple dans une casserole où on chauffe de l'eau, on peut les négliger non ?

À mon avis largement oui, faudrait justifier ça par analyse dimensionnelle mais c'est vraiment pas trivial étant donné que la grosse difficulté de ce problème est le couplage vitesse - température

Ca doit pouvoir se justifier dans ce cas la oui. Typiquement je pense que ca s'etudie avec l'approximation de Boussinesq en premiere approximation, c'est a dire qu'on considere l'advection-diffusion de la temperature (l'equation que tu as trouvee), couplee a Navier-Stokes en incorporant les variations de densite dans le terme incorporant les forces exterieures (la gravite). Parce que dans ce cas la la vitesse du fluide provient des variations de temperature, donc on ne peut pas supposer v connue et simplement considerer la temperature comme etant "passive".
https://fr.wikipedia.org/wiki/Approximation_de_Boussinesq