bonswar

j'ai un exo dont je connais la résolution à peu près mais je demande votre confirmation

soit p premier
mq
sqrt(p) est irrationnel

Supposons sqrt(p) = m/n avec m,n entiers premiers eux. On a m^2 = n^2 p donc p divise m^2 donc p divise m (car p premier). Donc m = pm' et donc n^2 = pm'^2 donc p divise n^2 donc p divise n (car p premier). On a donc une contradiction car p divise n et m alors qu'ils sont premiers entre eux.

ah zut je croyais avoir mis ma réponse

ben c'est exactement celle de Sureminence

j'imagine qu'il y a pas d'autre moyen que par l'absurde pour répondre à cette question ?

Quand une notion est définie par une négation, sauf dans de rares cas, ça passe systématiquement par l'absurde.

J'ai un collègue l'an dernier qui m'avait montré une démo (assez courte) de l'irrationalité de sqrt(2), et il me semble que la raison pour laquelle il souhaitait me la montrer était que ça n'était pas par l'absurde.

Par contre je ne me souviens pas de la démo, et je sais encore moins si elle s'adapte à n'importe quel nombre p

juste un petit truc

soit p premier
pourquoi :

p divise a^2 => p divise a

?

Le 15 novembre 2020 à 19:06:16 ChoquantMeme a écrit :
juste un petit truc

soit p premier
pourquoi :

p divise a^2 => p divise a

?

C'est le lemme d'Euclide
Si p divise a^2 c'est un facteur premier de a^2 donc il apparaît nécessairement dans la décomposition en facteurs premiers de a.

Tout le monde s'en fout mais la preuve au dessus n'est pas "par l'absurde", c'est juste une preuve de négation.

La démonstration par l'absurde c'est "je suppose non(A), j'aboutis à une contradiction, j'en déduis A". Ça peut se résumer par le principe "non(non(A)) => A"

Alors que dans la preuve au dessus, on suppose A, on aboutit à une contradiction, on en déduit non(A). (Avec A = "sqrt(p) est rationnel"). C'est juste la définition de "non(A)", qui est une abbreviation pour "A => faux".

Tout rationnel a non nul s'écrit de façon unique sous la forme produit pour p premier des p^vp(a) avec vp(a) des entiers relatifs.

On montre aisément que vp(a²) = 2vp(a), on en déduit que si sqrt(a) est rationnel avec a rationnel non nul on a vp(a) = 2vp(sqrt(a)), ainsi vp(a) doit être pair et ce pour tout p premier.

Or vp(p) = 1 n'est pas pair, on en déduit par contraposée que sqrt(p) est irrationnel, de même que sqrt(n) lorsque n n'est pas un carré parfait.

Le 15 novembre 2020 à 19:49:14 Choucador a écrit :
Tout le monde s'en fout mais la preuve au dessus n'est pas "par l'absurde", c'est juste une preuve de négation.

La démonstration par l'absurde c'est "je suppose non(A), j'aboutis à une contradiction, j'en déduis A". Ça peut se résumer par le principe "non(non(A)) => A"

Alors que dans la preuve au dessus, on suppose A, on aboutit à une contradiction, on en déduit non(A). (Avec A = "sqrt(p) est rationnel"). C'est juste la définition de "non(A)", qui est une abbreviation pour "A => faux".

Effectivement. Et ça a un intérêt lorsqu'on fait des mathématiques constructives.

À un certain niveau, il faut vraiment distinguer les preuves qui utilisent "vraiment" le tiers exclu de celles qui ne l'utilisent pas (je passe volontairement sur les subtilités entre le tiers exclu et le raisonnement par l'absurde en mathématiques constructives).

L'exemple classique est : existe-t-il a,b irrationnels tq a^b est rationnel ?

Avec le tiers exclu on conclut assez vite : on sait que sqrt(2) est irrationnel. Du coup on teste d'abord avec sqrt(2)^sqrt(2). Le tiers exclu nous garantie que c'est soit rationnel soit irrationnel. Si c'est rationnel ok. Sinon bah du coup a=sqrt(2)^sqrt(2) et b=sqrt(2) fonctionnent.

Pour trouver une preuve plus constructive de ce résultat, il faut utiliser le théorème de Gelfond Schneider qui nous permet de dire que sqrt(2)^sqrt(2) est en fait transcendant. (Je ne suis pas sûr que la preuve du théorème de Gelfond Schneider est constructive à 100%. Ça fait plusieurs années que je ne me suis pas repenché dessus et à l'époque je n'avais pas fait toute la preuve)

On voit là où le point de vue constructif nous mène. On a l'impression de "perdre" quelque chose puisqu'on a pas l'oracle du tiers exclu mais en réalité on voit qu'une question apparemment anodine est en réalité très profonde et nous amène à un résultat très profond, un résultat de transcendance plutôt que de simple irrationalité (ce qui est très fort, au lieu d'avoir un résultat d'ordre 1 on a un résultat sur toute la hiérarchie de N, toutes les hauteurs entières).

Et il y a plusieurs exemples comme ça où un point de vue constructif montre que quelque part les choses sont "plus profondes" qu'on pourrait le croire, et abouti à des résultats plus fins, plus puissants.

And don't get me started on Curry Howard and other stuff...

Bof, tel que je le vois ta démo constructive marche parce qu'on sait prouver que sqrt(2)^sqrt(2) est transcendant. C'est pas le point de vue constructif qui t'a donné la preuve de la transcendance de sqrt(2)^sqrt(2).

Enfin je sais pas si je m'exprime bien mais la transcendance de sqrt(2)^sqrt(2) est totalement secondaire pour prouver le théorème, c'est juste que pour prouver que c'est bien irrationnel de manière constructive, la méthode la plus rapide reste encore de prouver la transcendance

Mon message n'était peut-être pas clair. Je n'ai pas dit que c'est le point de vue constructif qui a donné la démonstration de la transcendance.

Ce que je voulais vraiment mettre en avant est que le point de vue constructif met en lumière un vide dans notre connaissance que l'oracle classique ne voit pas. Ensuite, il se trouve que dans beaucoup de situations, le fait de prendre ce constat au sérieux aboutit à une théorie plus fine et plus puissante.

L'exemple donné en théorie des nombres était plus là pour la culture et pour montrer un vrai exemple d'utilisation du tiers exclu.

En tout cas merci pour cette remarque.

Par contre pour ton dernier paragraphe, je ne sais pas si on peut faire une preuve plus simple si on veut juste l'irrationalité.

Je rajoute un point pour compléter : on n'a pas besoin du théorème de Gelfond Schneider pour la preuve de transcendance. On peut en fait prouver ça avec le théorème de Kuzmin, dont la preuve est plus simple.

Je conseille la lecture du livre Hilbert's Seventh Problem de Robert Tubbs à ce sujet.

Merci pour la recommendation !