Bonjour tout le monde !

Il y a un énoncé en maths où j'ai le corrigé mais je ne comprends pas comment le prof est arrivé au résultat

On doit faire la division polynômiale de (x^2+1) par (x-1), la fraction totale à la puissance 3.

Donc j'ai d'abord fait la division polynômiale de la fraction sans la puissance.

J'ai obtenu x+1 + (2 /(x-1)), le reste de la division étant 2.

Et après il a fait une décomposition en éléments simples avec des puissances croissantes, pour obtenir ce résultat:

(x+1)^3 + 6 (x+3) + 36/(x-1) + 24/((x-1) ^2) + 8/((x-1) ^3)

Est-ce que quelqu'un peut m'expliquer le début ?

Je connais un peu les décompositions polynômiales mais pas vraiment comme ça

Merci beaucoup, bon week end

La décompo en éléments simples de (X^2+1)^3/(X-1)^3 sera de la forme :
P(X) + a/(X-1) + b/(X-1)^2 + c/(X-1)^3
avec P un polynôme de degré 6-3=3 et a,b,c des réels.

Déjà, ça c'est à poser et à considérer, c'est un résultat de cours.

Bon, reste à déterminer tout ce petit monde.

Le prof ce qu'il a fait c'est très simple, il a multiplié la décompo précédente par (X-1)^3 pour obtenir :
(X^2+1)^3= P(X)(X-1)^3 + a(X-1)^2 + b(X-1)+c

On remarque alors que P(X) est le quotient dans la division euclidienne de (X^2+1)^3 par (X-1)^3 (le cours le disait déjà, en fait),
puis que les coefficients a,b,c vont en gros être l'expression du reste obtenu dans la base {1,(X-1), (X-1)^2}.

Du coup en faisant des divisions euclidiennes successives (ou des décompo en éléments simples successives) on détermine tous les coeffs :
div eucl de (X^2+1)^3 par (X-1)^3 -> P(X)
div eucl du reste par (X-1)^2 -> a
div eucl du 2e reste par (X-1) -> b et c.

Toi ce que tu as fait c'est écrire (X^2+1)/(X-1) = Q(X)+d/(X-1)
De fait, on a (X^2+1)^3/(X-1)^3 = (Q(X)+d/(X-1))^3
ça se développe avec la formule du binôme, et bon il y aura des termes plus simples dont on cherchera la décompo en éléments simples (3Q(X).d/(X-1)^2 et 3Q(X)^2.d/(X-1) ).

Je préfère l'approche "classique", càd en écrivant la décomposition en éléments simples telle qu'on la cherche, en faisant une division euclidienne pour simplifier le degré du numérateur, en trouvant éventuellement un ou deux termes (s'il y en a plein) via une limite, puis en développent la décompo en éléments simples afin de se ramener à un système linéaire à résoudre.
En général elle est tout aussi rapide que les autres approches (souvent un peu plus car on fait un système au lieu de plein de petits trucs), et elle est plus claire.

Ici cela représente :
- Faire la division euclidienne de (X^2+1)^3 par (X-1)^3 -> (X^2+1)^3 = P(X)(X-1)^3 + R(X)
- Ecrire que R(X)/(X-1)^3 = a/(X-1) + b/(X-1)^2 + c/(X-1)^3
- Ecrire que R(X)/(X-1)^3 = (a(X-1)^2 + b/(X-1) + c)/(X-1)^3
- Développer le numérateur de droite.
- Dire que deux fractions rationnelles égales et de même dénominateur ont le même numérateur, càd R(X) = a(X-1)^2 + b/(X-1) + c = a(X^2-2X+1) + b(X-1) + c = aX^2 + X(-2a+b) + (c-b)
- Dire que deux polynômes sont égaux ssi ils ont les mêmes coefficients.
- Ecrire le système linéaire obtenu, càd :
R(X) = r0 + r1X + r2X^2
r2 = a
r1 = -2a+b
r0 = c-b

- Résoudre le système linéaire par la méthode du Pivot (très souvent rapide car le système comporte pas mal de zéros)
- Conclure.

Merci beaucoup pour la réponse détaillée !