Salut,

Je cherche la plus petite valeur non nulle que prend |ax²+bxy| pour x,y des entiers .

Je pense que c'est des réécritures et des calculs astucieux et je suis très mauvais à ça

Y a d'autres infos si ça peut aider : 0 <= a <=b-1

a et b sont des réels pas forcément entiers ?

Lorsque la forme quadratique f(x,y)=ax^2+bxy+cy^2 non définie (càd d=b^2-4ac>0) n'a pas de racines rationnelles, on dispose d'une caractérisation de principe (ainsi que d'algos) pour calculer son minimum (ce que tu demandes).

Tu peux regarder par exemple dans l'article de Nicholls The minima of indefinite binary quadratic forms.

(Peut-être aussi dans le livre de Buchmann et Vallmer Binary forms an algorithmic approach.)

Dans le cas où il y a des racines rationnelles, ce qui sera le cas ici si a et b sont entiers notamment, alors il faut s'intéresser au second minimum de ta forme.

La théorie générale des minima supérieures (second, troisième etc.) n'est à ma connaissance pas développée en générale mais je peux me tromper.

Peut-être qu'il y a des éléments dans les papiers originaux de Gauss. Si oui, ils ont peut-être été repris dans la littérature moderne aussi quelque part.

EDIT : Si tu te satisfais de bornes dans le cas non rationnel, tu peux trouver des bornes simples dans le dernier chapitre du livre de Dickson sur la théorie des nombres. Tu peux aussi trouver ça dans la littérature plus récente en cherchant "minimum indefinite binary quadratic form". Tu peux aussi trouver des choses dans les papiers de Markoff mais il me semble que l'article de Nicholls résume ça.

Le 03 novembre 2020 à 01:45:55 skywear a écrit :
a et b sont des réels pas forcément entiers ?

Non c'est des entiers, j'ai pas précisé

Le 03 novembre 2020 à 09:51:03 wanadoo6 a écrit :
Lorsque la forme quadratique f(x,y)=ax^2+bxy+cy^2 non définie (càd d=b^2-4ac>0) n'a pas de racines rationnelles, on dispose d'une caractérisation de principe (ainsi que d'algos) pour calculer son minimum (ce que tu demandes).

Tu peux regarder par exemple dans l'article de Nicholls The minima of indefinite binary quadratic forms.

(Peut-être aussi dans le livre de Buchmann et Vallmer Binary forms an algorithmic approach.)

Dans le cas où il y a des racines rationnelles, ce qui sera le cas ici si a et b sont entiers notamment, alors il faut s'intéresser au second minimum de ta forme.

La théorie générale des minima supérieures (second, troisième etc.) n'est à ma connaissance pas développée en générale mais je peux me tromper.

Peut-être qu'il y a des éléments dans les papiers originaux de Gauss. Si oui, ils ont peut-être été repris dans la littérature moderne aussi quelque part.

EDIT : Si tu te satisfais de bornes dans le cas non rationnel, tu peux trouver des bornes simples dans le dernier chapitre du livre de Dickson sur la théorie des nombres. Tu peux aussi trouver ça dans la littérature plus récente en cherchant "minimum indefinite binary quadratic form". Tu peux aussi trouver des choses dans les papiers de Markoff mais il me semble que l'article de Nicholls résume ça.

Merci En général t'aurais de bonnes références pour des bouquins sur la théorie des nombres ?

J'ai bien noté ta question et je me suis dit que j'y reviendrais(en plus d'une étude détaillée de ta première question si possible) dès que j'aurais du temps...je n'en ai finalement pas. Je vais donc juste donner des références.

À mon avis une très bonne référence est le livre assez récent suivant : Olivier Bordellès, Thèmes d'arithmétique (j'ai la version anglaise Arithmetic Tales qui est plus complète).

Après ça dépend beaucoup ce que tu cherches : plutôt géométrie diophantienne, théorie des nombres algébrique, analytique...?

Le A course in number theory de Serre est plutôt bien. Je crois qu'il y a un bon livre de P. Samuel pour la théorie algébrique. De mémoire la référence du domaine c'est Cassels Fröhlich.

Sinon, en théorie analytique, il y a des bons livres de Iwaniec et d'autres notamment Opera de Cribro assez récent, et beaucoup d'autres auteurs.

En géométrie diophantienne, j'aime bien le livre Heights in diophantine geometry de E. Bombieri (attention c'est de la géométrie algébrique). Ou encore les livres de Silverman sur les courbes...

Il y a un livre de Hindry en français aussi en arithmétique. Il y a bien sûr le livre de Weil...et le classique Hardy Wright qui contient énormément de bonnes choses.

Je te conseille de faire une recherche de références sur Mathoverflow et math stackexchange et voir aussi ce qui t'intéresse plus spécifiquement.