Salut, quelqu'un aurait une piste pour la convergence de cette intégrale svp ?

Intégrale de 0 à +oo de P(x) e^(-x²) où P(x) est un polynôme

Au début je voulais faire plusieurs IPP et y'aura d'office un moment où le polynôme sera constant, mais bon pour faire ça faut déjà calculer l'intégrale de e^-x² de 0 à +oo

Oui

Le facteur exponentiel tend très très vite vers zéro à l'infini
Utilise un critère de comparaison

Fais une comparaison série intégrales

Bah on te demande pas de calculer l'intégrale en fait, il suffit de dominer ton intégrande par un truc intégrable pour montrer qu'elle est intégrable, ou montrer que ton intégrande domine un truc qui diverge pour montrer que c'est pas intégrable

Le 01 novembre 2020 à 21:34:41 the_ff3_fan a écrit :
Bah on te demande pas de calculer l'intégrale en fait, il suffit de dominer ton intégrande par un truc intégrable pour montrer qu'elle est intégrable, ou montrer que ton intégrande domine un truc qui diverge pour montrer que c'est pas intégrable

oui c'est vrai jsp pq dans ma tête je devais la calculer ty

On peut se limiter à regarder le comportement en +inf. De là, on a une majoration de la forme |P(x)|<=Cx^n pour x grand. Du coup on est ramené à un monôme * e^(-x^2). Et là il suffit de connaître les comparaisons d'échelle pour dominer par un truc intégrable.

C'est brutal mais c'est pas grave c'est juste l'intégrabilite qui nous intéresse.

Pour le calcul, on peut par linéarité se ramener à des monômes (ce qui peut aussi permettre de se ramener à des monômes dans l'intégrabilité d'ailleurs). Après, on peut faire des IPP.

Sinon, la meilleure méthode (selon moi) reste d'utiliser de la parité pour se ramener à ]-inf,+inf[ et ensuite utiliser la fonction caractéristique de exp(-x^2) qui est calculable assez simplement lorsque tu connais la valeur de Gauss (de toute façon, même sans connaître la valeur, tu as au moins l'expression à une constante près grâce à l'équation différentielle vérifiée par la fonction caractéristique).

Ensuite tu peux soit utiliser le développement en série, soit dériver la fonction caractéristique à plusieurs reprises.

Cette méthode est importante en théorie des probabilités et partout là où on travaille avec des gaussiennes, en particulier en théorie quantique des champs et en mécanique statistique. On peut dire qu'une partie des diagrammes de Feynman consiste à représenter graphiquement des histoires de dérivées de gaussiennes.