Salut, je bloque sur * de cet exo, une idée ?

S'il contenait un autre élément que $x$, disons $y$, tu utilises la propriété de séparabilité pour trouver un ouvert qui contient $x$ mais pas $y$ et tu as une contradiction. Pour le contre exemple, essaye avec des ensembles à petits cardinaux de créer une topologie qui coince.

j'ai déjà trouvé la réponse à l'exercice, c'est juste pour l'exemple que je bloque ..

Cette propriété signifie que X est T1.
Il y a une plus petite topologie T1 : la topologie cofinie, en général elle n'est pas T2 SpoilAfficherMasquerdès que X est infini c'est pas T2

Le 28 octobre 2020 à 22:21:51 DonDoritos2 a écrit :
Cette propriété signifie que X est T1.
Il y a une plus petite topologie T1 : la topologie cofinie, en général elle n'est pas T2 SpoilAfficherMasquerdès que X est infini c'est pas T2

Ah

c'est quoi T1 et T2 ?

T2 = Hausdorff
T1 = propriété qu'on te demande d'avoir

on prend X un e.t muni de la topologie cofinie , on cherche un ouvert contenant x mais pas y, il suffit de prendre U = X \ {y}

Par Doritos, si X est infini alors X n'est pas de hausdorff

car pour tout ouvert Z contenant x et pour tout ouvert contenant P contenant y

Z ∩ P != ∅ pas très convaincu

Pourquoi pas convaincu ?

Le 28 octobre 2020 à 23:03:51 Sureminence a écrit :
Pourquoi pas convaincu ?

Comment on sait que l’intersection n’est pas le vide ?

Si l'intersection est vide c'est que chacun de tes deux ouverts est inclus dans le complémentaire de l'autre. Comme les complémentaires de tes ouverts sont finis (par définition de la topologie), c'est que tes deux ouverts sont finis. Le seul ouvert fini étant le vide, on aboutit à une contradiction.

Ou alors en passant au complémentaire : si Z ∩ P = ∅ alors Z^c U P^c = X. Comme X est infini alors l'un des deux fermés Z^c ou P^c est infini. Le seul fermé infini étant X, on en déduit que Z ou P est vide, absurde.