Hello, des indications pour la question b ?
Je sais que S est de dim 2 mais jsp comment trouver le Vect Merci

Si tu trouves une famille libre maximale, c'est bon.

EDIT : Au fait, "S" n'est pas de dimension 2 puisque S n'est même pas un espace vectoriel. C'est Vect(S) qui est de dimension 2.

Tu cherches peut-être une équation cartésienne de <S> ?

Astuce : tu places les vecteurs générateurs en colonne et une matrice identité à droite.
Par exemple ici, on peut en garder que deux car <S> est de dimension 2.
$$ \begin{matrix}1&3\\2&1\\-1&1\end{matrix} \left\vert \begin{matrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{matrix}\right. $$
Tu appliques le pivot de Gauss et à la fin t'auras des lignes i=p,...,n de zéros à gauche.
Juste en face tu auras des lignes [a(i,1),...,a(i,n)] pour i=p,...,n.

Ton espace est décrit par les équations a(i,1)x_1 + ... + a(i,n)x_n = 0, i=p,...,n

Le 25 août 2020 à 20:06:16 Jaibuolol a écrit :
Si tu trouves une famille libre maximale, c'est bon.

EDIT : Au fait, "S" n'est pas de dimension 2 puisque S n'est même pas un espace vectoriel. C'est Vect(S) qui est de dimension 2.

Je sais pas trop comment trouver la base d'un espace comme celui-ci, j'ai surtout l'habitude de travailler avec des espaces du même type que U

Le 25 août 2020 à 20:18:42 DonDoritos18 a écrit :
Tu cherches peut-être une équation cartésienne de <S> ?

Astuce : tu places les vecteurs générateurs en colonne et une matrice identité à droite.
Par exemple ici, on peut en garder que deux car <S> est de dimension 2.
$$ \begin{matrix}1&3\\2&1\\-1&1\end{matrix} \left\vert \begin{matrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{matrix}\right. $$
Tu appliques le pivot de Gauss et à la fin t'auras des lignes i=p,...,n de zéros à gauche.
Juste en face tu auras des lignes [a(i,1),...,a(i,n)] pour i=p,...,n.

Ton espace est décrit par les équations a(i,1)x_1 + ... + a(i,n)x_n = 0, i=p,...,n

J'ai encore jamais vu de "tableau" comme ça, je sais pas du tout comment ça se résout, ni même à quoi sert la matrice identité à droite ? Ce que je sais juste faire pour l'instant (en ayant pris de l'avance sur le programme), c'est l'algorithme de Gauss-Jordan (forme échelonnée réduite) pour déterminer si une famille est libre et génératrice

Je sais pas trop comment trouver la base d'un espace comme celui-ci, j'ai surtout l'habitude de travailler avec des espaces du même type que U

Les vecteurs de S engendrent le sous-espace (par définition du vect), ils sont liés donc dim <= 2. Il y en a 2 libres, donc dim >= 2. La dimension est donc 2 et deux vecteurs non colinéaires dans S forment une base.

J'ai encore jamais vu de "tableau" comme ça, je sais pas du tout comment ça se résout, ni même à quoi sert la matrice identité à droite ? Ce que je sais juste faire pour l'instant (en ayant pris de l'avance sur le programme), c'est l'algorithme de Gauss-Jordan (forme échelonnée réduite) pour déterminer si une famille est libre et génératrice

C'est comme une grosse matrice, tu fais le pivot sur la matrice de gauche en répercutant toutes les opérations à droite. En mettant juste les vecteurs générateurs, tu trouves à la fois la dimension (après avoir échelonné la matrice, le nombre de lignes non nulles donne la dimension) et une représentation cartésienne (avec les coefficients des lignes en face des lignes de zéros à gauche). Derrière il y a un calcul dans le dual, cette méthode marche toujours (si on n'a pas de meilleure idée, c'est une roue de secours).

J'ai essayé et je trouve :
Ça me paraît pas trop correct

J'ai trouvé la même chose
Une équation cartésienne de Vect(S) est : -3x + 4y + 5z = 0 (tu peux tester avec les éléments de S, ils vérifient tous cette équation).

edit : Si tu cherches des équations cartésiennes de U + vect(S) tu peux appliquer la même méthode en disposant en colonnes (et en vrac) les vecteurs générateurs de U et vect(S).

J'ai noté cette astuce

Mais du coup... Vect(S) = Vect((1,2,-1),(3,-5,0)), ou Vect(S) = (-3x+4y+5z=0) ? J'ai un peu de mal avec le "déterminer"

Avec une base, tu détermines complètement Vect(S).
Idem avec un système d'équations cartésiennes indépendantes.

Je pense que l'une ou l'autre convient.
Demande à tes profs ce qu'ils attendent à ce genre de question.

Ok merci pour l'aide

Pourquoi calculer une équation cartésienne du plan ?

Personnellement, j'aurais plutôt conseillé de calculer le rang de la matrice formée par les trois vecteurs. Mais ici, si on a un peu de flair, on voit que, si on note S = {u1 ; u2 ; u3} comme sur l'énoncé, u_3 = u_1 + u_2, et u_1 et u_2 sont non colinéaires.
Donc (u_1 ; u_2) est une base de Vect(S) qui est donc de dimension 2 ..

EDIT: Ah oui, je vois pourquoi l'équation cartésienne, je croyais qu'il fallait juste donner la dimension
Mais avec la remarque que j'ai faites, on pouvait aussi trouver un vecteur normal à u_1 et u_2 en posant les équations ... Oui, je me défends