Bonsoir à tous,

Quelqu'un peut m'expliquer la correction de cet exercice s'il vous plaît? Je ne comprends absolument pas la démarche.

Merci d'avance

D'abord, on justifie que f admet bien une primitive sur chacun des intervalles en affirmant que la fonction est continue. Donc par théorème fondamental de l'analyse, cette fonction admet bien une primitive.

Ensuite, ici, on a posé u(x) = 1 + 1/x. Alors u'(x) = -1/x²

Or, f(x) = (1/x²) (1 + 1/x)^4, donc le terme de devant est exactement la dérivée du terme dans la parenthèse, au signe près. On écrit:

f(x) = - (-1/x²) (1 + 1/x)^4 et on reconnait u(x) et u'(x), d'où: f(x) = - u'(x) u(x)^4. Et on connait une primitive de ça: c'est, en gros, du u(x)^5. Vu qu'en dérivant on obtient du 5, il faut donc diviser par 5, et on a encore le signe -.

Donc une primitive est - u(x)^5 / 5, et on remplace u(x).

Le 21 août 2020 à 19:29:31 Quiquine2 a écrit :
D'abord, on justifie que f admet bien une primitive sur chacun des intervalles en affirmant que la fonction est continue. Donc par théorème fondamental de l'analyse, cette fonction admet bien une primitive.

Ensuite, ici, on a posé u(x) = 1 + 1/x. Alors u'(x) = -1/x²

Or, f(x) = (1/x²) (1 + 1/x)^4, donc le terme de devant est exactement la dérivée du terme dans la parenthèse, au signe près. On écrit:

f(x) = - (-1/x²) (1 + 1/x)^4 et on reconnait u(x) et u'(x), d'où: f(x) = - u'(x) u(x)^4. Et on connait une primitive de ça: c'est, en gros, du u(x)^5. Vu qu'en dérivant on obtient du 5, il faut donc diviser par 5, et on a encore le signe -.

Donc une primitive est - u(x)^5 / 5, et on remplace u(x).

J'ai absolument tout compris. Merci beaucoup.