Quelqu'un peut m'expliquer ?
Je sais de la 1ere à la 2eme il décompose en éléments simples
après il fait en sorte d'obtenir z sans facteurs de la 2 à la 3
mais après, pourquoi ca vaut pi*i et l'autre 0 ?

Tu as vu quoi en analyse complexe?

Si je te renvoie à ce cours par exemple :
https://www.imo.universite-paris-saclay.fr/~hulin/poly-holo.pdf

tu te situes où?

Après, pour répondre à ta question précisément, il s'agit ici d'une application (dans un cas particulier) de la formule de Cauchy dans un dique (corollaire 4.8 p.37 poly plus haut).

Dans ce cas particulier, il me semble qu'on peut aussi le redémontrer à la main : on développe en série entière 1/(z-w) et on intervertit série et intégrale (en le justifiant).

Le 09 juin 2020 à 23:48:31 wanadoo6 a écrit :
Après, pour répondre à ta question précisément, il s'agit ici d'une application (dans un cas particulier) de la formule de Cauchy dans un dique (corollaire 4.8 p.37 poly plus haut).

Dans ce cas particulier, il me semble qu'on peut aussi le redémontrer à la main : on développe en série entière 1/(z-w) et on intervertit série et intégrale (en le justifiant).

ok donc le centre est 0 et le rayon est 1, c'est le cercle unité
donc je remplace z par e^(it) et je veux intégrer sur 0 à 2pi
∫ 1/(e^it+(1/2)) (0 à 2pi) donc ça me donne ça ?

Attention, par définition de l'intégrale complexe "I=intégrale sur C de f(z) dz" ça veut précisément dire "si gammat(t), t dans [a,b] est une paramétrisation de C alors "I=intégrale de a à b de f(gamma(t)) * gamma'(t) dt "

Il ne faut pas oublier le "gamma'(t)".

Dans ton cas ici, on a par exemple : J=intégrale de 1/(z-w) * dz sur D(0,1) ça veut dire:
J= intégrale de 0 à 2pi de [ i * exp(it) / (exp(it) - w) ] *dt

Le poly cité au dessus est tres bien.
Ces integrales sont a constante multiplicatives pres des indices de lacets par rapport a des points. Regarde la proposition page 34 et le calcul du deuxieme exemple page 25

En fait lorsque a est en dehors du disque, alors le theoreme de cauchy (ou la proposition page 34) te dit que l’integrale vaut 0
Sinon si a est a l’interieur du disque, l’integrale est Ind(gamma,a) qui est egal a Ind(gamma,0) par la proposition page 34, mais cet indice peut etre facilement calculé par le deuxieme exemple page 25 (les exponentielles se simplifient, ce qui n’est pas le cas si a non nul!)

remplacez "le théorème de cauchy" par ce qu'il y a dans la parenthèse qui suit, dans mon message précédent, ça deviendra plus juste

Ca marche aussi avec le théorème des résidus