Bonjour,
Voila une question est apparu dans mon esprit il y’a peu de temps : comment généraliser le théorème de pythagore à une n ieme dimension...
Donc je réfléchis puis regarde sur internet sauf que ... je suis en première et je ne comprends quasiment rien à toutes les notations que j’ai vu dans les solutions...
Deux manieres de procéder me sont venues à l’esprit :
1) Par « récurrence »
1 dimension c’est la droite donc BC^2 = AB^2
2 dimensions bon c’est le théorème classique : AB^2 + AC^2 = BC^2 (Donc je rajoute AC^2 qui represente une nouvelle dimension donc y)
3 Dimensions si je me base sur ce qui a été vu précédemment : BB’C’C^2(nouvelle hypoténuse) = AB^2 + AC^2 + AA’^2 (j’exploite la dimension z)
n dimensions je rajoute a chaque fois le carré de la nouvelle longueur qui apparaît
2) Visuellement
En 3 dimensions BB’C’C^2= BC^2 que je fais glisser par une translation de vecteur BB’ donc BB’C’C^2= BC^2 * BB’
Et en n dimensions ça devient assez dur pour tenter de visualiser mais je suppose qu’on continue par multiplier par la longueur de la nouvelle dimension

2 questions :
1) Un de ces raisonnements mene-t-il à la réponse ?
2) Sinon pouvez vous essayer de m’expliquer en langage accessible à un simple eleve de 1ere ou de me donner d’autres pistes de réflexions ?

Merci beaucoup.

Regarde d'abord ce dessin : http://sketchtoy.com/69212390

En dimension 2, on a un point A de coordonnées (x,y).
Le théorème de Pythagore en dimension 2 dit que la longueur OA² est égale à x² + y².

En dimension 3, on a un point A de coordonnées (x,y,z).
Le théorème de pythagore en dimension 3 dit que la longueur OA² est égale à x² + y² + z².
C'est la formulation qu'on trouve ici par exemple : https://fr.wikipedia.org/wiki/Th%C3%A9or%C3%A8me_de_Pythagore#En_plus_grande_dimension

Dans un pavé droit, le carré de la grande diagonale est égal à la somme des carrés des dimensions du pavé.

En dimension n, si tu prends un point A de coordonnées (a_1, ..., a_n), le théorème de Pythagore te dit que OA² = a_1² + ... + a_n².

Une reformulation : dans un espace de dimension ≥ n, si on considère n vecteurs deux-à-deux orthogonaux, le carré de la longueur de la somme de ces vecteurs est égal à la somme des carrés des longueurs.

La généralisation du théorème de Pythagore se fait avec des outils hors de portée du lycée. Normalement si tu continues à faire des maths postbac tu vois ça en L1 ou en 1ere année de prépa scientifique.

Mais ça marche pareil que dans le cadre classique que tu vois depuis le collège, c'est à dire que pour deux vecteurs u et v, t'as : norme(u+v)^2 = norme(u)^2 + norme(v)^2 + 2<u,v>. La norme est une fonction positive avec certaines propriétés et la quantité <u,v> est appelée produit scalaire de u et v, normalement vous voyez ça au lycée mais en gros qd u et v sont orthogonaux, ça vaut 0 et on retrouve le Pythagore habituel.

Après bien sur j'ai simplifié à mort et il y a pas mal de notions d’algèbre linéaire à définir et assimiler avant.

Merci pour ces réponses !