Voilà, j'ai cette question
et la réponse c'est :

Je voudrais savoir en quoi si λ> 0 ,

la solution est : Aexp(x*sqrt(λ))+Bexp(-x*sqrt(λ)) est équivalent à Acos(x*sqrt(λ))+Bsin(x*sqrt(λ))

ce n'est pas équivalent, je ne vois pas où tu le lis

Le 26 mai 2020 à 21:35:13 MecaFlu a écrit :
ce n'est pas équivalent, je ne vois pas où tu le lis

je me suis gouré

la solution est : Aexp(x*sqrt(λ))+Bexp(-x*sqrt(λ)) est équivalent à Ach(x*sqrt(λ))+Bsh(x*sqrt(λ))

Si tu développes les cosinus et sinus hyperboliques tu tombes bien sûr une expression de la forme proposée

C'est simplement le fait que cosh et sinh sont ses combinaisons linéaires de exp et x->exp(-x)
C'est la même chose avec cos et sin combinaisons linéaires de de exp(+/-ix)

Le 26 mai 2020 à 21:41:20 Modraal a écrit :
Si tu développes les cosinus et sinus hyperboliques tu tombes bien sûr une expression de la forme proposée

Yep, en utilisant les formules d'Euler

Donc vous êtes entrain de me dire que e^(x)+e^(-x) = ch(x) + sh(x) c'est ça ?

ch(x) = ( e^x + e^(-x) ) / 2

sh(x) = ( e^x - e^(-x) ) / 2

-> sh(x) + ch(x) = e^x

Le 26 mai 2020 à 22:00:36 -IceTea- a écrit :
ch(x) = ( e^x + e^(-x) ) / 2

sh(x) = ( e^x - e^(-x) ) / 2

-> sh(x) + ch(x) = e^x

oui ça ok sauf que là dans mon exo il dit au départ que si λ> 0 pour y''-λy=0, les solutions sont de la forme :
Aexp(x*sqrt(λ))+Bexp(-x*sqrt(λ))
et dans la correction il met Ach(x*sqrt(λ))+Bsh(x*sqrt(λ))

ce qui revient à dire que e^(x)+e^(-x)=ch(x)+sh(x)

[22:00:36] <-IceTea->
ch(x) = ( e^x + e^(-x) ) / 2

sh(x) = ( e^x - e^(-x) ) / 2

-> sh(x) + ch(x) = e^x

Pour compléter, tu as de même ch(x)-sh(x)=e^(-x) du coup l'op tu peux remplacer exp par ch+sh et exp(-.) par ch-sh pour voir que les deux expressions sont équivalentes (les constantes devant ne seront pas A et B mais ce n'est pas grave, l'important c'est que Vect(ch,sh)=Vect(exp,exp(-.)))

Si tu as les démonstrations dans ton cours ça serait utile de les revoir ; quand on comprend d'où ça vient tout est beaucoup plus clair. Tu verras aussi pourquoi on a exp dans un cas et sin/cos de l'autre, c'est en fait la même chose.

Le 26 mai 2020 à 22:03:02 Davedthu a écrit :

Le 26 mai 2020 à 22:00:36 -IceTea- a écrit :
ch(x) = ( e^x + e^(-x) ) / 2

sh(x) = ( e^x - e^(-x) ) / 2

-> sh(x) + ch(x) = e^x

oui ça ok sauf que là dans mon exo il dit au départ que si λ> 0 pour y''-λy=0, les solutions sont de la forme :
Aexp(x*sqrt(λ))+Bexp(-x*sqrt(λ))
et dans la correction il met Ach(x*sqrt(λ))+Bsh(x*sqrt(λ))

ce qui revient à dire que e^(x)+e^(-x)=ch(x)+sh(x)

En quoi cela reviendrait à dire ça ?

En fait il prends une forme qui l'aide un peu mieux pour la résolution de l'équation différentielle. Ce qu'il dit c'est que toute solution de l'équa diff est combinaison linéaire de exp(sqrt(lambda) x) et exp(- sqrt(lambda) x). Donc en terme d'espace vectoriel, si je note S l'espace des solutions: S = Vect(exp(sqrt(lambda) x) ; exp(-sqrt(lambda) x))

Or, on a ch(sqrt(lambda) x) = (exp(sqrt(lambda) x) + exp(- sqrt(lambda) x)) / 2
sh(sqrt(lambda) x) = (exp(sqrt(lambda) x) - exp(-sqrt(lambda) x)) / 2
(simple définitions du cos et du sin hyperboliques)

Du coup, toute combinaison linéaire de ch(sqrt(lambda) x) et de sh(sqrt(lambda) x) est en particulier combinaison linéaire de exp(sqrt(lambda) x) et exp(- sqrt(lambda) x)). Mais réciproquement, tu peux démontrer que si tu as une fonction combinaison linéaire de ces deux fonctions, alors elle est combinaison linéaire de ch et sh.

En effet, les deux formules au-dessus donnent:
exp(sqrt(lambda) x) = ch(sqrt(lambda) x) + sh(sqrt(lambda) x)
exp(-sqrt(lambda) x ) = ch(sqrt(lambda) x) - sh(sqrt(lambda) x)

Donc les deux espaces vectoriels engendrés sont les mêmes.
Donc toute solution est combinaison linéaire de ch et de sh de cette forme.

Il faut faire attention, dans ce que tu as écris, pour une même solution, tes constantes A et B changent. Par exemple, si tu exprime la solution exp(sqrt(lambda) x) en fonction de lui-même et de exp(-sqrt(lambda) x), alors tu vas trouver A = 1 et B = 0. Mais si tu veux l'exprimer en fonction du ch et sh, tu prendras dans ce cas A = B = 1.