Genre le fait que pour delta < 0 ça s'écrit sous la forme q(e^ax)(cos(bx+r)) avec a partie réelle b partie imaginaire et q et r des réels
ça se démontre comment en fait ? j'ai l'impression que ces formules tombent du ciel

Déjà j'imagine que tu parles des ED linéaires homogène d'ordre 2 à coefficient constant.
Oui ça se démontre, comme tout
Tu peux déjà trouver les solutions complexes puis cherche les solutions réelles à partir de ça.

Tu as peut-être vu que si tu as une équa diff linéaire de la forme y^(2) + a y' + b y = 0, alors les solutions sont fortement liées aux solutions de l'équation caractéristique: X² + a X + b = 0 (qu'on sait résoudre étou étou).
Dans la forme générale, quand on travaille dans les complexes, on trouve que si x1 et x2 sont deux solutions distinctes de l'équation caractéristiques, alors l'espace des solutions est l'espace vectoriel engendré par exp(x1 t) et exp(x2 t) (si ta variable est t). Dans le cas où x1 = x2, c'est l'espace engendré par exp(x1 t) et t exp(x1 t). Pour voir ce résultat, il suffit de vérifier que les deux fonctions que je donne à chaque fois fonctionnent bien, et sont linéairement indépendantes. Ensuite le théorème de Cauchy-Lipschitz te dit qu'une solution de l'EDP est entièrement déterminée par, sa valeur et sa dérivée en un point, on a donc un isomorphisme avec |C². (si on travaille en tant que |C espace vectoriel).

Dans le cas réel, l'isomorphisme tient toujours, mais avec |R², avec cette fois-ci des |R espace vectoriels. Et là, on va distinguer un cas supplémentaire. Si les deux solutions existes et sont réelles, c'est comme avant. Par contre, dans le cas où les deux racines sont complexes, il faut changer de fonction. Il suffit alors de prendre les fonctions exp(x1 t) et exp(x2 t), et de les additionner puis diviser par 2. ça nous donne, si on note x1 = alpha + i beta, x2 = alpha - i beta, exp(alpha) cos(beta t) (formule d'Euler). Ensuite, on prends la différence et on divise par 2i pour avoir exp(alpha) sin(beta t). Ces deux fonctions, en tant que combinaison linéaire de exp(x1 t) et exp(x2 t) sont encore solutions, et on peut montrer qu'elles sont linéairement indépendantes. Donc on obtient tout l'espace.
Pour retrouver ton cos(at + b), il suffit d'utiliser une formule de duplication. Car du coup une solution s'écrira exp(alpha) (u cos(beta t) + v sin(beta t)), et tu simplifies la parenthèse avec la bonne formule trigonométrique, en factorisant par sqrt(u² + v²) et en reconnaissant cos(machin + truc).

Vala je pense ne pas m'être foiré

Le 20 mai 2020 à 17:33:25 Quiquine2 a écrit :
Tu as peut-être vu que si tu as une équa diff linéaire de la forme y^(2) + a y' + b y = 0, alors les solutions sont fortement liées aux solutions de l'équation caractéristique: X² + a X + b = 0 (qu'on sait résoudre étou étou).
Dans la forme générale, quand on travaille dans les complexes, on trouve que si x1 et x2 sont deux solutions distinctes de l'équation caractéristiques, alors l'espace des solutions est l'espace vectoriel engendré par exp(x1 t) et exp(x2 t) (si ta variable est t). Dans le cas où x1 = x2, c'est l'espace engendré par exp(x1 t) et t exp(x1 t). Pour voir ce résultat, il suffit de vérifier que les deux fonctions que je donne à chaque fois fonctionnent bien, et sont linéairement indépendantes. Ensuite le théorème de Cauchy-Lipschitz te dit qu'une solution de l'EDP est entièrement déterminée par, sa valeur et sa dérivée en un point, on a donc un isomorphisme avec |C². (si on travaille en tant que |C espace vectoriel).

Dans le cas réel, l'isomorphisme tient toujours, mais avec |R², avec cette fois-ci des |R espace vectoriels. Et là, on va distinguer un cas supplémentaire. Si les deux solutions existes et sont réelles, c'est comme avant. Par contre, dans le cas où les deux racines sont complexes, il faut changer de fonction. Il suffit alors de prendre les fonctions exp(x1 t) et exp(x2 t), et de les additionner puis diviser par 2. ça nous donne, si on note x1 = alpha + i beta, x2 = alpha - i beta, exp(alpha) cos(beta t) (formule d'Euler). Ensuite, on prends la différence et on divise par 2i pour avoir exp(alpha) sin(beta t). Ces deux fonctions, en tant que combinaison linéaire de exp(x1 t) et exp(x2 t) sont encore solutions, et on peut montrer qu'elles sont linéairement indépendantes. Donc on obtient tout l'espace.
Pour retrouver ton cos(at + b), il suffit d'utiliser une formule de duplication. Car du coup une solution s'écrira exp(alpha) (u cos(beta t) + v sin(beta t)), et tu simplifies la parenthèse avec la bonne formule trigonométrique, en factorisant par sqrt(u² + v²) et en reconnaissant cos(machin + truc).

Vala je pense ne pas m'être foiré

Merci beaucoup pour cette explication très détaillée !