J'ai M(n) une suite strictement positive tendant vers +oo et C et p sont des réels strictement positifs. Je dois calculer la limite de (C/C+M(n))^(n+p) quand n->+oo

On est d'accord que mon énoncé est incomplet ?

C/C = 1 et M(n) > 0

-> C/C + M(n) > 1

Or (n+p) > 0

-> ( C/C + M(n) ) ^(n+p) diverge vers + l'infini ( propriété des suites géométriques )

hmm pour moi non. passe au logarithme en utilisant le fait que ln(a/b) = - ln(b/a), tu montres que le log de ta suite tend vers -inf et donc que la suite tend vers 0

Le 18 mai 2020 à 21:01:40 -IceTea- a écrit :
C/C = 1 et M(n) > 0

-> C/C + M(n) > 1

Or (n+p) > 0

-> ( C/C + M(n) ) ^(n+p) diverge vers + l'infini ( propriété des suites géométriques )

je pense que c'est une fraction avec C au numérateur et C + M_n au dénominateur

Comme (M(n)) est strictement positive et que sa limite n'est pas 0 tu peux dire que pour tout n M(n)>epsilon pour un certain epsilon>0, donc (C/(C+M(n))^(n+p)<(C/(C+epsilon))^(n+p) et le terme à droite tend vers 0 parce que c'est grosso modo une suite géométrique de raison <1

Merde j'ai fait une erreur de copié/collé

c'est (C/C+M(n)/n)^(n+p), au dénominateur c'est C+(M(n)/n)

Oui le truc tend clairement vers 0 sans le /n

Le 18 mai 2020 à 21:04:51 MecaFlu a écrit :

Le 18 mai 2020 à 21:01:40 -IceTea- a écrit :
C/C = 1 et M(n) > 0

-> C/C + M(n) > 1

Or (n+p) > 0

-> ( C/C + M(n) ) ^(n+p) diverge vers + l'infini ( propriété des suites géométriques )

je pense que c'est une fraction avec C au numérateur et C + M_n au dénominateur

Tu dois avoir raison C'est chelou de mettre C/C au lieu de 1 directement

Je pose la question car je dois conclure sur la question suivante en d) :

En remplaçant epsilon par M(n)/n je trouve que l'indicatrice converge en probabilité vers 0 sous P_theta_0 et je n'arrive pas à calculer la limite du membre de droite. J'ai l'impression que je pars sur la mauvaise piste mais je vois pas comment y arriver autrement

Le 18 mai 2020 à 21:21:28 kmqt a écrit :
Merde j'ai fait une erreur de copié/collé

c'est (C/C+M(n)/n)^(n+p), au dénominateur c'est C+(M(n)/n)

Oui le truc tend clairement vers 0 sans le /n

faut mettre les parenthèses au bon endroit (C/(C + M(n)/n))^(n+p)
en distinguant trois cas (Mn/n tend vers 0, un réel ou l'infini) je retrouve qu'à chaque fois le log de la suite tend vers -infini, et donc que la suite tend vers 0

Vers l'infini : on revient au cas d'avant donc c'est 0

Vers un réel strictement positif K : je peux encadrer M(n)/n > K - eps > 0 pour n grand, de sorte que
la suite soit inférieure à (C/(C+K - eps))^(n+p), donc elle tend vers 0 (suite géométrique de raison <1)

Vers 0 : je note Z(n) = M(n)/C*n.
ça revient à calculer la limite de 1/(1+Z(n))^n où Z(n) tend vers 0 , car le terme en puissance p tend vers 1.
maintenant, j'ai (1+Z(n))^n = exp(n*log(1+Z(n))), au voisinage de 0 j'ai n*log(1+Z(n)) equivalent à nZ(n), et nZ(n) = M(n)/C -> +oo, donc 1/ (1+Z(n))^n tend vers 0

C'est ça ? Désolé pour le topic ça doit faire 5 ans que j'ai pas calculé des limites comme ça

ça m'a l'air bon

Merci beaucoup

M(n)/n peut ne pas avoir de limite (par exemple si M(n)=n(2+sin(n)))

Mais bon intuitivement le "pire" cas c'est quand M(n)/n tend vers 0 auquel cas comme l'a dit Meca le log de la suite est équivalent à -M(n)/C

Du coup si Mn/n n'a pas de limite il faut exiger au moins que Mn/n soit minoré par un réel strictement positif, pour avoir la convergence de la suite ? Dans ton cas Mn/n > 1

le pire cas c'est Mn/n n'a pas de limite et son seul minorant est 0. Mais dans ce cas est-ce toujours possible d'avoir Mn -> oo ?

le pire cas c'est Mn/n n'a pas de limite et son seul minorant est 0. Mais dans ce cas est-ce toujours possible d'avoir Mn -> oo ?

Oui c'est possible par exemple en prenant M(2n)=2n et M(2n+1)=ln(n)
M(n) tend bien vers l'infini, M(n)/n a deux valeurs d'adhérences (1 et 0) donc ne converge pas mais puisque 0 est une valeur d'adhérence son seul minorant positif est 0

Je me dis que doit y avoir moyen de formaliser le truc en distinguant les cas selon si 0 est valeur d'adhérence de M(n)/n (si c'est pas une valeur d'adhérence tu peux écrire M(n)/n>eps et faire comme avant, si c'en est une ptetre qu'en prenant une sous-suite qui tend vers 0 bien choisie on peut se ramener à l'histoire de l'équivalent du log), mais j'ai l'impression de manquer un truc évident parce que ça a l'air inutilement lourd

Bon bah du coup j'ai pas l'impression que pour une simple question d) je doive rentrer dans cette discussion, surtout pour un DS de stat bayésienne... J'ai l'impression que je loupe quelque chose, ou bien je vais répondre à la question en distinguant les 4 cas...

Fin du coup ça ferait seulement 2 cas mais ouais je pense pas que ce soit ce qu'on te demande