Bonsoir, je fais une faute sur un exercice, et je ne vois où elle se trouve :

Déterminer le Vect de l 'ensemble des matrices nilpotentes. J'ai montré que cet espace vectoriel est inclu dans l'ensemble des matrices de trace nulle qui est de dim n^2-1 . Ensuite j'ai dans mon Vect tous les Eij pour i différent de j donc n^2-n vecteurs. M'en reste plus que n-1 à trouver. Et la j'utilise le fait que toute matrices triangulaire stricte est niplotente, mais pour une matrice de taille n, j'ai 2n diagonales, dont 3 que je ne peux prendre celle de taille 1 et la diago de taille n), ce qui me laisse 2n-3 choix. Mais du coup pour n assez grand j'ai trouvé une famille libre (je ne prends qu'une seule fois les vecteurs de la BC de Mn (R) ) de cardinale supérieur à n^2-1

??? Ou est mon erreur

Question qui n'a rien à voir, si on a une fonction et qu'on n'a aucune idée de sa dérivabilité, est-ce qu'il existe des fonctions (continues ou pas) tels qu'il existe un réel x tel qu'il n'existe aucun epsilon tel que f soit strictement monotone sur l'intervalle (x-eps;x+eps) ? Pour que ca soit plus clair, je me posais la question dans un cadre ou on devait décomposer notre fonction en une somme de deux fonctions strictement monotones

Et merce

pas sûr d'avoir tout compris mais si ton Vect est inclus dans un ev de dimension n²-1 ça veut dire que le vect a au plus une dimension n²-1, pas exactement n²-1

Oui mais j'ai trouvé une famille libre de Vect(nilpotente) de cardinal strict supérieur à n^2-1 et donc sa base le sera aussi, ce qui est absurde avec l'inclusion

"Et la j'utilise le fait que toute matrices triangulaire stricte est niplotente" mais elles sont déjà combinaison linéaires des E_ij pour i différent de j, donc ça sert à rien de considérer de telles matrices car tu les obtiens déjà à partir de tes n^2-n matrices

Si tu veux rajouter des vecteurs indépendants il faut penser aux E_ii - E_jj avec i différent de j.

Question qui n'a rien à voir, si on a une fonction et qu'on n'a aucune idée de sa dérivabilité, est-ce qu'il existe des fonctions (continues ou pas) tels qu'il existe un réel x tel qu'il n'existe aucun epsilon tel que f soit strictement monotone sur l'intervalle (x-eps;x+eps) ? Pour que ca soit plus clair, je me posais la question dans un cadre ou on devait décomposer notre fonction en une somme de deux fonctions strictement monotones

https://fr.wikipedia.org/g/wiki/Fonction_de_Weierstrass

Le 19 mai 2020 à 20:43:37 Konf a écrit :
"Et la j'utilise le fait que toute matrices triangulaire stricte est niplotente" mais elles sont déjà combinaison linéaires des E_ij pour i différent de j, donc ça sert à rien de considérer de telles matrices car tu les obtiens déjà à partir de tes n^2-n matrices

Si tu veux rajouter des vecteurs indépendants il faut penser aux E_ii - E_jj avec i différent de j.

Merci, mais justement j'ai essayé avec les matrices Eii-Ejj mais elle ne sont pas nilpotentes, d'aileurs elles sont mêmes égales à toutes leur puissance successive.

Tu peux commencer par montrer que toute matrice de trace nulle se décompose en une matrice à diagonale nulle et une matrice diagonale de trace nulle.

Tu peux ensuite montrer que respectivement cette matrice de diagonale nulle et cette matrice diagonale de trace nulle sont combinaisons linéaires de nilpotentes.

Les Eii-Ejj ne sont pas nilpotentes mais sont quand même dans le vect des matrices nilpotentes