Bonsoir les kheys, je rencontre un problème dans un exercice simple, d'optimisation liée, avec la méthode du Lagrangien.

Le but est d'optimiser la fonction f(x,y) = x*y, sous contrainte que x+y = 10

J'ai compris la méthode et ce qui se cache derrière le Lagrangien, cependant, je trouve que le déterminant de ma matrice hessienne est -1. Ce qui n'est pas normal sachant que le maximum doit être global, et que mes termes diagonaux devraient être positifs

Voici ce que j'ai fait :

Mon Lagrangien est Lλ(x,y) = x*y - λ(x+y-10)

J'obtiens donc ce système, pour trouver le(s) points critiques :

y - λ = 0
x - λ = 0
x + y = 10

C'est-à-dire, un point critique de première espèce, atteint en f(5,5) avec λ = 5 (Le maximum global devrait être atteint en f(5,5), donc le point critique que j'ai trouvé, est vraisemblablement le bon).

Cela me donne donc L5(x,y) = x*y - 5*(x+y-10) <=> L5(x,y) = x*y - 5x - 5y + 50.

Ainsi, ma matrice hessienne donne donc :

0 1
1 0

Donc un déterminant égal à -1, et des termes diagonaux positifs, tout cela étant problématique, comme je l'ai annoncé au début du post.

D'après ma matrice hessienne, j'ai donc un point-selle. Donc au mieux, j'aurais potentiellement un maximum local (avec la méthode de la linéarisation de la contrainte. (Je n'ai pas essayé de voir si j'obtenais un max/min local avec cette méthode étant donné que dans tous les cas, ma matrice hessienne est fausse).

Ca fait 2 heures que je bloque comme un con en cherchant ce que j'ai fait de mal

Un khey charitable pour me dire où est mon erreur ?

Merci d'avance

L'étude de la hessienne ne permet que de conclure localement, tu pourras jamais dire que y'a un extremum global juste en regardant la hessienne De plus ici tu travailles sous contrainte, donc il ne faut pas étudier la hessienne ça c'est pour le cas d'optimisation libre

Ici f est continue sur un compact donc elle bornée donc elle admet forcément un maximum global je dirais

Le 15 avril 2020 à 08:20:53 TheLelouch4 a écrit :
L'étude de la hessienne ne permet que de conclure localement, tu pourras jamais dire que y'a un extremum global juste en regardant la hessienne De plus ici tu travailles sous contrainte, donc il ne faut pas étudier la hessienne ça c'est pour le cas d'optimisation libre

Ici f est continue sur un compact donc elle bornée donc elle admet forcément un maximum global je dirais

Je suis potentiellement d'accord avec ton premier point.

Par contre, je suis pas d'accord avec ce que tu dis ensuite
En effet, si t'as une hessienne semi-défini positive sur ton ensemble (c'est-à-dire à déterminant supérieur ou égal à 0 et des termes diagonaux négatifs, pour tout point de ton ensemble), alors le point critique que t'as est un max global.

Ensuite, nous étudions, même en cas de contrainte, la hessienne. Du fait du théorème suivant :

Ce que je dis est peut-être faux, mais je suis à peu près sûr de ce que j'avance

Edit : Ah sinon, on ne travaille pas dans un compact. Info prof.:hap: Ca serait possible de travailler dans un ensemble soit compact, mais nous n'avons pas les outils nécessaires dans le cours selon lui.

Vous avez pas étudié la quasi concavité ?

Le 15 avril 2020 à 11:12:24 Jawed a écrit :
Vous avez pas étudié la quasi concavité ?

Pas à ma connaissance

Le 15 avril 2020 à 10:32:14 FeederSticks a écrit :

Le 15 avril 2020 à 08:20:53 TheLelouch4 a écrit :
L'étude de la hessienne ne permet que de conclure localement, tu pourras jamais dire que y'a un extremum global juste en regardant la hessienne De plus ici tu travailles sous contrainte, donc il ne faut pas étudier la hessienne ça c'est pour le cas d'optimisation libre

Ici f est continue sur un compact donc elle bornée donc elle admet forcément un maximum global je dirais

Je suis potentiellement d'accord avec ton premier point.

Par contre, je suis pas d'accord avec ce que tu dis ensuite
En effet, si t'as une hessienne semi-défini positive sur ton ensemble (c'est-à-dire à déterminant supérieur ou égal à 0 et des termes diagonaux négatifs, pour tout point de ton ensemble), alors le point critique que t'as est un max global.

Ensuite, nous étudions, même en cas de contrainte, la hessienne. Du fait du théorème suivant :

Ce que je dis est peut-être faux, mais je suis à peu près sûr de ce que j'avance

Edit : Ah sinon, on ne travaille pas dans un compact. Info prof.:hap: Ca serait possible de travailler dans un ensemble soit compact, mais nous n'avons pas les outils nécessaires dans le cours selon lui.

Sauf que la hessienne dépend du point ou tu regardes la hessienne justement. En général elle est pas constante comme ici mais en général tu aurais toujours du x et du y dans ta hessienne Ensuite perso je préfère regarder les valeurs propres directement plutôt que d'utiliser des astuces ou moyens mnémotechniques bizarres à base de coeff diagonaux et de déterminants emboités mais bon tu fais comme dans ton cours j'imagine

Après moi j'ai pas le même théorème que toi aussi donc je peux pas suivre ta méthode

Sauf que la hessienne dépend du point ou tu regardes la hessienne justement.

Si t'as un déterminant positif dans ta hessienne, pour tout couple (x,y) de ton ensemble, alors t'as un max/min global.
Sinon, alors tu dois effectivement regarder ce qu'il se passe au niveau de ton point-critique.

Sauf que moi, je trouve un déterminant strictement négatif pour tout (x,y) de l'ensemble.

C'est-à-dire un point-selle, alors que je devrais trouver un déterminant positif, avec des termes diagonaux qui le sont aussi

Bah si tu traces ta fonction (x,y)->xy tu vois bien que ca fait une selle
https://www.google.com/search?q=x*y&oq=x*y&aqs=chrome..69i57j46j0l6.431j0j7&sourceid=chrome&ie=UTF-8

Le 15 avril 2020 à 11:37:21 TheLelouch4 a écrit :
Bah si tu traces ta fonction (x,y)->xy tu vois bien que ca fait une selle
https://www.google.com/search?q=x*y&oq=x*y&aqs=chrome..69i57j46j0l6.431j0j7&sourceid=chrome&ie=UTF-8

Sauf que je devrais trouver que j'ai un maximum global avec la contrainte. Au mieux, je peux trouver un maximum local, avec la méthode de la linéarisation de la contrainte

Oui mais justement, tu montres qu'il y a un candidat comme extremum local puis par un argument théorique d'existence d'extremum global tu en déduis que le candidat en question est bien un extremum global

Mais après si tu sais pas qu'une l'image d'un fermé borné par une fonction continue est aussi fermé borné (en dimension finie) je sais pas trop comment tu peux dire qu'il y a bien un extremum global.

A la limite, tu as aussi d'autres moyens sans avoir à utiliser de théorème d'optimisation... genre en utilisant l'inégalité arithmético-géométrique tu trouves assez facilement qu'un produit de nombre dont la somme est donné est maximal quand tous les nombres sont égaux. Mais je pense pas que ce soit le but de ton exo

Mais après si tu sais pas qu'une l'image d'un fermé borné par une fonction continue est aussi fermé borné (en dimension finie) je sais pas trop comment tu peux dire qu'il y a bien un extremum global.

Non mais justement, notre chargé de TD a dit que nous ne sommes pas dans un compact

Donc tu peux pas appliquer le théorème de Weierstrass pour dire qu'il y a obligatoirement un maximum/minimum global

Ah oui c'est fermé (image réciproque du singleton {0} qui est fermé par (x,y)->x+y-10 qui est continue) mais pas borné l'ensemble {(x,y)/x+y=10} vu que c'est une droite. Enfin si tu veux maximiser le produit xy il faut que ce produit soit positif (par exemple le maximum est forcément plus grand que 9 vu que le couple (1,9) sur la droite) au moins donc que x et y soient tous les deux positifs ou négatifs. S'ils sont tous les deux négatifs alors x+y ne peut pas valoir 10 donc forcément x et y sont positifs. Maintenant x et y sont forcément inférieurs à 10 tous les deux vu que x+y=10. Finalement tu peux restreindre la recherche de ton extremum a un segment de ta droite qui sera bien borné

Tu peux montrer que ta fonction (ou son opposé selon si tu veux maximiser ou minimiser) est coercive dans ce cas si ton ensemble est pas borné

Le 15 avril 2020 à 13:36:06 TheLelouch4 a écrit :
Ah oui c'est fermé (image réciproque du singleton {0} qui est fermé par (x,y)->x+y-10 qui est continue) mais pas borné l'ensemble {(x,y)/x+y=10} vu que c'est une droite. Enfin si tu veux maximiser le produit xy il faut que ce produit soit positif (par exemple le maximum est forcément plus grand que 9 vu que le couple (1,9) sur la droite) au moins donc que x et y soient tous les deux positifs ou négatifs. S'ils sont tous les deux négatifs alors x+y ne peut pas valoir 10 donc forcément x et y sont positifs. Maintenant x et y sont forcément inférieurs à 10 tous les deux vu que x+y=10. Finalement tu peux restreindre la recherche de ton extremum a un segment de ta droite qui sera bien borné

Tu peux montrer que ta fonction (ou son opposé selon si tu veux maximiser ou minimiser) est coercive dans ce cas si ton ensemble est pas borné

Ca serait possible de dire que comme tu recherches un extremum suivant la contrainte x+y=10, ce dernier, s'il existe, se trouve nécessairement dans l'ensemble {(x,y)/x+y=10} ?

Ce dernier étant fermé et borné (car |x| ⩽ 10 et |y| ⩽ 10), tu peux donc restreindre l'étude à un compact ?

De fait, je peux appliquer Weierstrass et ainsi, comme j'ai trouvé que f(5;5) est un maximum local, dire qu'il est global?

Cependant, vu que le théorème de Weierstrass implique l'existence d'un minimum et d'un maximum global sur le compact, quid du minimum global ?

Je suis pas sûr de mon raisonnement mais ça me paraît pas déconnant non plus

Déjà, tu travailles sous la contrainte {(x,y)/x+y=10} donc tous les couples qui sont pas dans {(x,y)/x+y=10} tu les ignores. Maintenant le problème c'est que c'est non borné donc ça se trouve ton maximum global peut se trouver " l'infini " (cad tu peux trouver une suite infinie de point qui maximisent toujours plus ton produit et y'en a aucun qui le maximise mieux que tous les autres). Mais bon on sent bien que le maximum global il est bien atteint et il existe, donc il suffit de l'encadrer dans un compact inclus dans l'ensemble de contrainte de départ et de n'étudier plus que le compact et alors le max global qu'on trouvera dans ce compact ce sera aussi le max global avec la contrainte de départ.

Ton ensemble admet donc (au moins) un maximum global et un minimum global. Tu montres qu'il n'y a qu'un seul maximum local possible qui est donc nécessairement le maximum global (qui lui on sait qu'il existe).

Concernant le minimum global lui rien ne dit qu'il existe en dehors du compact de départ (qu'on a construit pour maximiser et non minimiser). En effet, tous les couples de la forme (x,10-x) vérifient la contrainte et pourtant le produit x*(10-x) tend vers -infini quand x->+infini donc y'a pas de minimum global sous la contrainte x+y=10

EDIT: La propriété qui dit que l'image d'un compact par une fonction continue est compacte je crois pas qu'elle porte de nom sinon

Maintenant le problème c'est que c'est non borné

Pourquoi c'est non borné ?

Si l'on étudie l'ensemble {(x,y)/x+y=10}, on a |x| ⩽ 10 et |y| ⩽ 10, ce qui montre que l'ensemble est borné Au final, cet ensemble donne un "segment", non ?

Oui mais les |x| ⩽ 10 et |y| ⩽ 10 ils sont pas présents dans ta contrainte de base. Ca tu le sais parce que tu as observé la fonction à maximiser et que tu sais localiser a peu près ton max global

Le 15 avril 2020 à 14:44:06 TheLelouch4 a écrit :
Oui mais les |x| ⩽ 10 et |y| ⩽ 10 ils sont pas présents dans ta contrainte de base. Ca tu le sais parce que tu as observé la fonction à maximiser et que tu sais localiser a peu près ton max global

Ah oui ok désolé
Effectivement, tout couple (x,10-x) vérifie la contrainte

Sauf que le problème, comme je l'ai dit dans un post antérieur, c'est que toujours info du chargé de TD, on ne peut pas se ramener à un ensemble formé par des contraintes d'inégalité (donc on ne peut pas encadrer un ensemble pour se ramener à un, borné ), vu qu'on n'a pas vu les théorèmes pour

Le fait qu'il y ai des contraintes d'inégalité change le théorème à appliquer dans le cas de l'optimisation sous contrainte, mais tu as pas vu l'optimisation avec des contraintes d'inégalités donc oui ça fout la merde

Bah après tu peux toujours étudier le truc à la main