Bonjour, petite question rapide, j'ai vu dans un cours que si f et son laplacien sont dans L2 alors f est dans H^2 (sur R^d)
Est-ce qu'on a aussi que les normes L2 de f et son laplacien permettent de construire une norme équivalente à la norme de H^2, il me semble que c'est vrai mais je trouve pas ce résultat dans mon cours (c'est peut-être direct en utilisant Fourier)
Autre question : le résultat de régularité elliptique que j'ai vu considère des fonctions définies sur R^d tout entier ou des ouverts bornés avec des bonnes propriétés. Vous savez si on peut prendre des ouverts non bornés ou c'est vraiment une condition nécessaire ?? Et si vous avez des références de bonne confiance qui font des démos de ce résultat dans le cadre général je suis preneur !

Merci ! Ca se trouve c'est assez facile a trouver mais ça permet de papoter sur d'autres choses que de l'algèbre

Est-ce qu'on a aussi que les normes L2 de f et son laplacien permettent de construire une norme équivalente à la norme de H^2, il me semble que c'est vrai mais je trouve pas ce résultat dans mon cours (c'est peut-être direct en utilisant Fourier)

Dans l'espace entier c'est effectivement trivial par une bonne vieille transformée de Fourier; dans un rectangle ou un tore c'est tout aussi trivial par les séries de Fourier; dans un ouvert borné pas trop moche (lipschitzien devrait suffire), l'inversion du laplacien se passe cen gros comme pour les séries de Fourier et l'équivalence annoncée a lieu.

Vous savez si on peut prendre des ouverts non bornés ou c'est vraiment une condition nécessaire ??

La régularité est un truc local; si tu veux t'en convaincre, prends $\chi$ ta fonction de troncature lisse préférée, considère $\chi f$ qui a la même régularité que $f$ et étends-la par 0 hors de ton ouvert. Paf.

Pour les références, je suis une quille en littérature mais au pif du pif je te pointerais vers le Evans. Un peu indigeste et parfois daté, mais une référence.