Bonjour,

Soit f : I -> U de classe C¹ avec I un intervalle réel et U l'ensemble des complexes de module 1, comment on peut justifier le plus simplement possible de l'existence d'une fonction theta : I -> IR de classe C¹ telle que pour tout x, f(x) = e^itheta(x) ?

J'ai des bricolages pas très jolis à base d'inversion locale de l'exponentielle complexe ou de logarithme principal mais ça semble trop compliqué pour une question aussi simple...

Indice : SpoilAfficherMasquerSi theta existe et que tu dérives f, tu trouves quoi ?

Le 28 février 2020 à 11:49:17 Hachino a écrit :
Indice : SpoilAfficherMasquerSi theta existe et que tu dérives f, tu trouves quoi ?

Je suis bête, j'avais pensé à dériver pour sortir un theta' mais j'ai juste pensé à |theta'(x)| = |f'(x)| ce qui est pas très pratique
Du coup si theta existe on a f(x) = e^itheta(x), f'(x) = itheta'(x) f(x), theta'(x) = f'(x) / if(x) = -if'(x) / f(x) (on peut diviser par f(x) parce que à valeurs dans U)

Et réciproquement on pose theta(x) = C + intégrale de 0 à x de -if'(t) / f(t) dt avec C réel tel que e^iC = f(0) et ça marche

Merci !

Juste par curiosité, là ça marchait bien parce que exp' = exp mais on est un peu bloqué si on a pas ça non ?

Typiquement avec U,V,W des ouverts connexes d'espaces vectoriels normés finis, si F est de classe C¹ de U dans V et est surjective dans V, on a envie de dire que si f est de classe C¹ de W dans V alors on peut écrire f = F o phi avec phi : W -> U de classe C¹, dans ce cas on peut plus utiliser le même argument

Après réflexion je me dis que ça ressemble beaucoup aux propriétés universelles qu'on retrouve dans les espaces et structures quotients, le bon cadre d'étude pour cette question ça doit être le cadre des variétés différentielles non ? Intuitivement on voudrait que F réalise un C¹-difféo entre U/F et W où U/F est le quotient de U par la relation x ~ y <=> F(x) = F(y), pour ça il faut que F soit pas trop moche (ne serait-ce que pour avoir une structure de variété différentielle) et à partir de là on retourne à cette idée de recollement et de fibre / revêtement

Hachino

Le 28 février 2020 à 22:18:24 Nathyll a écrit :
Juste par curiosité, là ça marchait bien parce que exp' = exp mais on est un peu bloqué si on a pas ça non ?

Typiquement avec U,V,W des ouverts connexes d'espaces vectoriels normés finis, si F est de classe C¹ de U dans V et est surjective dans V, on a envie de dire que si f est de classe C¹ de W dans V alors on peut écrire f = F o phi avec phi : W -> U de classe C¹, dans ce cas on peut plus utiliser le même argument

Après réflexion je me dis que ça ressemble beaucoup aux propriétés universelles qu'on retrouve dans les espaces et structures quotients, le bon cadre d'étude pour cette question ça doit être le cadre des variétés différentielles non ? Intuitivement on voudrait que F réalise un C¹-difféo entre U/F et W où U/F est le quotient de U par la relation x ~ y <=> F(x) = F(y), pour ça il faut que F soit pas trop moche (ne serait-ce que pour avoir une structure de variété différentielle) et à partir de là on retourne à cette idée de recollement et de fibre / revêtement

ça fait longtemps que j'ai plus revu ces choses là mais t'as une condition nécessaire et suffisante pour qu'une application continue soit factorisable, en fonction d'une inclusion de deux ensembles liés à des groupes fondamentaux. regarde le livre a basic course in algebraic topology de massey section "lifting of arbitrary maps to a covering space" pour l'énoncé.

(contiune entre deux espaces topologiques)

Merci !