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La loi c'est une loi normale mais 2X-5Y comment on fait ?

Faut que je résume un peu le truc

Enfaite y a un vecteur gaussien (X,Y) de moyenne nulle et de variance l'identité

Donc N ( (0,0) , la matrice identité)

On cherche X+Y

E(X)=0
E(Y)=0
V(X)=1
V(Y)=1

E(X+Y)=E(X)+E(Y)=0
V(X+Y)=V(X)+V(Y)-cov(X,Y)=1+1-0=2

Donc X+Y suit une loi normale (0,2)

Sauf que après je cherche a faire

La formule de la loi normale c'est

Sigma² étant la variance

( 1/(Sigma*sqrt(2pi)) ) * exp^(- (x²+y²) / 2Sigma² )

Donc quand je remplace ça fait

( 1/ sqrt(2) * sqrt(2pi) ) * exp (- (x²+y²) / 2 * 2 )

= (1 / 2 * sqrt(pi) ) * exp (- (x²+y²) / 4 )

Or on doit trouver

( 1 / 2 * pi ) * exp ( - (x²+y²) / 2 )

Donc je vois pas comment arriver à ça

Après le 2X-5Y une fois que j'aurais compris le X+Y ça ira tout seul je pense

Lorsque t'as un vecteur gaussien X de dimension n, d'esperance mu et de matrice de covariance K inversible, tu sais que sa densité va être donnée par : f(x)=1/(sqrt(2pi)^n*1/sqrt(det(K)) *exp(-1/2<(x-mu)K-1,x-mu>) avec K-1 l'inverse de K et <,> le produit scalaire usuel sur R².

Ici tu reconnais que la densité de (X,Y) va être celle d'un vecteur gaussien d’espérance 0 et de matrice de covariance I2 la matrice identité.
Donc à partir de là t'as que X et Y suivent une N(0,1) et en particulier X et Y sont indépendantes car les coeff non diagonaux de ta matrice de covariance sont nuls.
Une fois que t'as ça, pas bien compliqué d'avoir la loi de 2X-5Y en utilisant les résultats sur des sommes de VA gaussiennes indépendantes.

Le 27 février 2020 à 16:39:21 Papalia-59 a écrit :
Lorsque t'as un vecteur gaussien X de dimension n, d'esperance mu et de matrice de covariance K inversible, tu sais que sa densité va être donnée par : f(x)=1/(sqrt(2pi)^n*1/sqrt(det(K)) *exp(-1/2<(x-mu)K-1,x-mu>) avec K-1 l'inverse de K et <,> le produit scalaire usuel sur R².

Ici tu reconnais que la densité de (X,Y) va être celle d'un vecteur gaussien d’espérance 0 et de matrice de covariance I2 la matrice identité.
Donc à partir de là t'as que X et Y suivent une N(0,1) et en particulier X et Y sont indépendantes car les coeff non diagonaux de ta matrice de covariance sont nuls.
Une fois que t'as ça, pas bien compliqué d'avoir la loi de 2X-5Y en utilisant les résultats sur des sommes de VA gaussiennes indépendantes.

Oui mais j'ai le résultat à la fin pour X+Y

C'est :

( 1 / 2 * pi ) * exp ( - (x²+y²) / 2 )

(Enfin c'est le truc donné), mais moi je trouve que (1 / 2 * sqrt(pi) ) * exp (- (x²+y²) / 4 )

Je sais pas si t'as suivi mon raisonnement dans le second post mais là je vois pas comemnt arriver au résultat de l'image

Euh la densité donnée dans l'enoncé c'est pour le couple (X,Y), c'est pas du tout la même chose que X+Y
C'est normal que tu trouves pas la même chose
Et sinon la densité pour X+Y, ça serait plutôt (1 / 2 * sqrt(pi) ) * exp (- (x²+y²+2xy) / 4 )

Alors comment il a trouvé la densité du couple (X,Y) ?

Ahhh il a multiplié les densités ?

Comment ça il l'a trouvée ?
On te donne justement un vecteur dont la densité est celle-ci

Alors comment on passe du vecteur à la formule de densité ?

C'est une formule qui doit surement être démontrée dans ton cours

J'ai compris merci beaucoup