Bonjour, je rencontre souvent des exercices du type "prouver qu'il existe une unique solution à telle équation différentielle localement développable en série entière autour de x0" et j'ai l'impression de passer à côté de quelque chose

Je donne un exemple concret et bateau histoire de rester simple : y' = y avec y(0) = 1 avec y réelle, je commence par supposer qu'une solution y existe qui soit localement DSE autour de 0, j'écris y(x) = somme des a_n x^n pour x assez proche de 0 et je calcule y'(x) - y(x), ça doit être égal à zéro donc par unicité de l'écriture d'une série entière on a forcément tous les coefficients nuls et on trouve une relation de récurrence an+1 = an/n+1 et comme a0 = 1 on retrouve la série exponentielle série des x^n / n!.

On vérifie facilement réciproquement que la série exponentielle est solution, maintenant le problème c'est l'unicité, ok toutes les solutions seront localement égales à exp autour de 0, mais c'est quoi la meilleure stratégie pour étendre l'unicité à tout IR ?

D'habitude j'ai tendance à utiliser Cauchy-Lipschitz pour assurer l'unicité, mais j'ai un poil l'impression d'utiliser un lance-roquettes pour tuer une mouche, y a aussi de façon générale des théorèmes d'unicité pour les équations linéaires d'ordre 1 et 2 mais ce qui me dérange vraiment c'est que dans tous ces cas on utilise jamais le fait d'être DSE. Si la question était : "montrer qu'il existe une unique solution et vérifier qu'elle est DSE" ça me poserait moins problème, mais là la question laisse sous-entendre que le caractère DSE doit nous aider à justifier l'unicité.

Donc intuitivement ça doit reposer sur une histoire d'unique prolongement C^infini de la fonction ou quelque chose comme ça, mais à ma connaissance y a rien qui nous assure qu'une fonction localement DSE en 0 admet unique prolongement C^infini maximal, dans C on a bien qu'une fonction analytique se prolonge uniquement sur un connexe mais dans IR y a plus de raison que ça marche a priori ? Du moins j'ai rien dans mon cours à ce sujet...

Tu as trouvé qu'il existait une unique solution DSE développable localement autour de x0, mais toute solution DSE en x0 et de rayon infini est en particulier développable localement. Comme les solutions développables localement y'en a que 1, alors y'a au plus 1 solution DSE avec un rayon infini et cette fonction ne peut être que l'exponentielle parce que réciproquement celle ci a un rayon infini ?
Ou alors j'ai mal compris ta question

Le 19 février 2020 à 13:12:59 Reynoooor7 a écrit :
Tu as trouvé qu'il existait une unique solution DSE développable localement autour de x0, mais toute solution DSE en x0 et de rayon infini est en particulier développable localement. Comme les solutions développables localement y'en a que 1, alors y'a au plus 1 solution DSE avec un rayon infini et cette fonction ne peut être que l'exponentielle parce que réciproquement celle ci a un rayon infini ?
Ou alors j'ai mal compris ta question

Je suis pas sûr de comprendre, j'ai pas prouvé l'unicité de la solution. Disons que j'ai prouvé que si y résout l'équa diff et si elle est localement DSE autour de 0, alors son DSE en 0 coïncide avec l'exponentielle mais c'est qu'un résultat local, on pourrait avoir pour tout |x| < delta, y(x) = e^x mais qu'au delà de delta ça ne coïncide plus, a priori, si on utilise pas les hypothèses de régularité.

Un exemple un peu concon c'est y(x) = e^x si |x| < 1, e^-1 si x <= -1 et e si x >= 1, ça c'est une fonction continue sur IR qui admet un DSE local en 0 qui coïncide avec l'exponentielle, mais c'est pas l'exponentielle sur tout IR. Donc il faudrait quoi comme hypothèses pour pouvoir assurer qu'une fonction qui coïncide localement avec l'exponentielle ne peut qu'être l'exponentielle ? Intuitivement j'ai envie de dire qu'être C^infini ça devrait suffire mais je suis pas bien sûr.

À mon avis tu peux pas trop te passer Cauchy-Lipschitz. Imaginons qu'on n'est pas dans le cadre de C-L avec disons x^3y'(x)=2y(x) sur R on peut avoir des solutions DSE localement autour d'un x0 (!=0) sans pour autant avoir unicité, le caractère DSE ne fournit qu'une unicité locale

Dans le cas de R yn truc qui doit ptet marcher c'est de prendre le plus grand ouvert ou la solution est DSE. Apres ca si on suppose qu'il est borné, on prend un point a la frontiefe et qu'on resout l'equa diff en cherchabt les solutions dse au voisinage de ce point, alors comme tout voisinage de ce point intereecte mon ouvert de depart, y a ptet un coup à jouer avec ca nan ? J'y reflechirai plus tard

Le 19 février 2020 à 13:44:21 DonDoritos3 a écrit :
À mon avis tu peux pas trop te passer Cauchy-Lipschitz. Imaginons qu'on n'est pas dans le cadre de C-L avec disons x^3y'(x)=2y(x) sur R on peut avoir des solutions DSE localement autour d'un x0 (!=0) sans pour autant avoir unicité, le caractère DSE ne fournit qu'une unicité locale

Je me dis quand même que doit y avoir un truc quand on a une solution maximale définie sur tout IR mais bon, apparemment fallait bien utiliser C-L

Le 19 février 2020 à 14:34:02 the_ff3_fan a écrit :
Dans le cas de R yn truc qui doit ptet marcher c'est de prendre le plus grand ouvert ou la solution est DSE. Apres ca si on suppose qu'il est borné, on prend un point a la frontiefe et qu'on resout l'equa diff en cherchabt les solutions dse au voisinage de ce point, alors comme tout voisinage de ce point intereecte mon ouvert de depart, y a ptet un coup à jouer avec ca nan ? J'y reflechirai plus tard

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