Salut, voici un petit exo de maths rapide

Montrer que l’ensemble des fonctions f continues sur [0,1] a valeurs réelles vérifiant f(Q) inclus dans R\Q , est dense dans l’ensemble des fonctions continues sur [0,1], muni de la norme uniforme

L'ensemble des polynômes à coefficients rationnels est dense dans C[0,1] (Weierstrass + densité de Q dans R).

Soient $f :[0,1] \to \mathbb R$ continue et $\varepsilon > 0$. On choisit un polynôme $p \in \mathbb Q[x]$ tel que $\|f-p\|_\infty \le \frac{\varepsilon}{2}$. On choisit un irrationnel $0 < s < \frac{\varepsilon}{2}$ ensuite on pose $g = p + s$ continue sur $[0,1]$ avec $g(\mathbb Q\cap [0,1]) \subset \mathbb R\setminus\mathbb Q$ et $\|f-g\|_\infty \le \varepsilon$.

C’est ça