Bonjour, j'ai une question qui me bloque totalement :

Soit f : IR^n -> IR^n de classe C¹ telle que pour tout x, d_x f est une isométrie vectorielle (pour la structure euclidienne canonique de IR^n)

Le but de l'exercice est de prouver que f est une isométrie affine

On commence par montrer avec le théorème d'inversion locale + accroissements finis que pour tout x, il existe U un voisinage de x sur lequel f est une isométrie (elle préserve la norme, pas forcément linéaire/affine)

Donc on a pour tout y,z dans U, ||f(y) - f(z)||² = ||y - z||²
La question est la suivante : En différentiant l'égalité ci-dessus, montrer que <d_y f(h), d_z f(h)> = ||h||².

Donc j'ai différentié l'égalité en l'exprimant sous forme de produit scalaire et en rappelant que d<x,y> = <x, dy> + <y, dx>
Donc d||f(y) - f(z)||² = d<f(y) - f(z), f(y) - f(z)> = 2<f(y) - f(z), d(f(y) - f(z))>
= 2 <f(y) - f(z), d_(y,z) (f o pi_y)(dy, dz) - d_(y,z) (f o pi_z)(dy, dz)>
= 2<f(y) - f(z), d_y f(dy) - d_z f(dz)>

Et d||y - z||² = 2<y - z, dy - dz>

Donc on a pour tout h,k
<f(y) - f(z), d_y f(h) - d_z f(k)> = < y - z, h - k >
si on prend h = k on a
<f(y) - f(z), d_y f(h) - d_z f(h)> = 0

Mais à partir de là je vois absolument pas comment conclure, ce qui me gêne vraiment c'est que je vois pas du tout comment obtenir du <d_y f(h), d_z f(h)> à partir de l'expression que j'ai à la fin ?...

J'ai peut-être fait une erreur de calcul mais ça me paraît bon pourtant.

Je peux voir l'enoncé en entier ?

Bon bah comme j'ai plus les automatismes j'ai tout developpé a la main et je trouve en effet qu'il manque un terme quand tu différencies la composition, sauf erreur de ma part.

Mais bon avec le yerme que j'ai en plus j'arrive a tomber sur le bon resultat

https://agreg-maths.fr/developpements/387

Le 02 janvier 2020 à 19:35:25 the_ff3_fan a écrit :
Bon bah comme j'ai plus les automatismes j'ai tout developpé a la main et je trouve en effet qu'il manque un terme quand tu différencies la composition, sauf erreur de ma part.

Mais bon avec le yerme que j'ai en plus j'arrive a tomber sur le bon resultat

Tu obtiens quoi exactement ? Je vois vraiment pas l'erreur, mais je suis vraiment nul en calcul.

Le 02 janvier 2020 à 19:35:51 Sureminence a écrit :
https://agreg-maths.fr/developpements/387

Fallait vraiment différentier en x puis en y ? Je me sens floué, j'y ai pensé en plus, mais je m'attendais vraiment à ce que ça marche pas.

Merci !

Par contre je me sens encore con, je trouve -2 à la place de -4 comme coefficient devant le produit scalaire. Genre le premier 2 il vient du fait que le produit scalaire différentié est symétrique donc d<f,f> = <f, df> + <df, f> = 2<f, df>, mais le deuxième il est pas symétrique, donc y a pas de 2 qui se rajoute normalement ?

oui mets un 2

Le 02 janvier 2020 à 20:29:47 Sureminence a écrit :
oui mets un 2

Merci !

Euh, je peux me tromper du coup, mais essaie de développer, j'ai perdu ma feuille de brouillon

Le 03 janvier 2020 à 02:29:04 the_ff3_fan a écrit :
Euh, je peux me tromper du coup, mais essaie de développer, j'ai perdu ma feuille de brouillon

J'ai refait le calcul d'une autre façon et je trouve la même chose.