Soit X une va de (omega, tribu sur omega, mesure de proba(disons ici la gaussienne centrée réduite)) sur (R,B(R))
et X suit une loi normale centrée réduite donc la mesure de P par X est N(0,1) comment peut on caractériser la fonction X ?

Je comprends pas ta question
On peut donner la densité de X si tu veux, c'est à dire f_X(x) = exp(-x^2/2)/sqrt(2 pi)

Oui je sais ça mais j'ai du mal à comprendre c'est quoi X, on nous dit que X suit une loi N(0,1) on connait donc juste P(X^-1(B)) pour tout borélien B de R,
et aussi quand on dit qu'une VA suit une gaussienne La mesure de probabilité de l'espace de départ c'est forcément une gaussienne du coup ?
et par exemple si l'ensemble de départ c'est (R,B(R),P) avec P gaussienne centré réduite on est d'accord que X c'est juste l'identité ?

X c'est une fonction mesurable de ton (oméga, tribu) dans (R,B(R))

Tu t'en fous de Omega, F, P ; tu peux voir ça comme la configuration atomique de l'univers dans lequel on se trouve par exemple. Toi quand tu fais des probas, tu suis "une valeur" par exemple le nombre de bonbons dans ton paquet de bonbons. Tu t'en fou de savoir dans quelle configuration de l'univers tu te situes, tout ce qui t'intéresse c'est les chances que ta variable aléatoire X (qui à une configuration de l'univers te donne le nombre de bonbons) prenne telle ou telle valeur ce qui est codé dans la loi P_X ; la loi P est hors d'atteinte et ne nous intéresse pas

C'est la grosse différence entre l'analyse et le probas : en analyse, on veut comprendre le lien entre x et f(x) ; en probas pas du tout ! C'est pour ça qu'on utilise le terme "variable aléatoire" et pas juste "fonction mesurable" alors que c'est la même chose

Le 06 décembre 2019 à 18:37:39 quine_ a écrit :
X c'est une fonction mesurable de ton (oméga, tribu) dans (R,B(R))

Je sais ça c'est pas la question que je pose

Le 06 décembre 2019 à 18:41:26 Sureminence a écrit :
Tu t'en fous de Omega, F, P ; tu peux voir ça comme la configuration atomique de l'univers dans lequel on se trouve par exemple. Toi quand tu fais des probas, tu suis "une valeur" par exemple le nombre de bonbons dans ton paquet de bonbons. Tu t'en fou de savoir dans quelle configuration de l'univers tu te situes, tout ce qui t'intéresse c'est les chances que ta variable aléatoire X (qui à une configuration de l'univers te donne le nombre de bonbons) prenne telle ou telle valeur ce qui est codé dans la loi P_X ; la loi P est hors d'atteinte et ne nous intéresse pas

C'est la grosse différence entre l'analyse et le probas : en analyse, on veut comprendre le lien entre x et f(x) ; en probas pas du tout ! C'est pour ça qu'on utilise le terme "variable aléatoire" et pas juste "fonction mesurable" alors que c'est la même chose

Ok je comprends mieux merci de m'avoir éclairer, je crois que je suis pas un bon probabiliste

Le 06 décembre 2019 à 21:40:20 Mauriceduvois2 a écrit :

Le 06 décembre 2019 à 18:41:26 Sureminence a écrit :
Tu t'en fous de Omega, F, P ; tu peux voir ça comme la configuration atomique de l'univers dans lequel on se trouve par exemple. Toi quand tu fais des probas, tu suis "une valeur" par exemple le nombre de bonbons dans ton paquet de bonbons. Tu t'en fou de savoir dans quelle configuration de l'univers tu te situes, tout ce qui t'intéresse c'est les chances que ta variable aléatoire X (qui à une configuration de l'univers te donne le nombre de bonbons) prenne telle ou telle valeur ce qui est codé dans la loi P_X ; la loi P est hors d'atteinte et ne nous intéresse pas

C'est la grosse différence entre l'analyse et le probas : en analyse, on veut comprendre le lien entre x et f(x) ; en probas pas du tout ! C'est pour ça qu'on utilise le terme "variable aléatoire" et pas juste "fonction mesurable" alors que c'est la même chose

Ok je comprends mieux merci de m'avoir éclairer, je crois que je suis pas un bon probabiliste

Si tu veux une analogie algébrique, en algèbre ce qui nous intéresse c'est d'étudier les structures, pas tant les représentations. Par exemple, peu importe si tu représentes le groupe cyclique d'ordre n par Z/nZ ou par Un, ce qui importe vraiment c'est la structure sousjacente. Ben là c'est plus ou moins la même chose, peu importe l'univers quand ce que tu veux vraiment c'est juste étudier une segmentation de taille dérisoire par rapport à la taille de l'univers. Concrètement, une variable aléatoire c'est ça, c'est une partition de ton univers par des événements (mesurables) auxquels tu attaches une petite étiquette. Ce qui importe c'est le comportement de la partition, pas tant le contenu des parties.

et par exemple si l'ensemble de départ c'est (R,B(R),P) avec P gaussienne centré réduite on est d'accord que X c'est juste l'identité ?

Tu veux pas plutôt dire :

Si l'espace de départ est (R,B(R),P) avec P une mesure de densité w -> exp(-w²/2)/sqrt(2pi) par rapport à la mesure de Lebesgue, alors en posant X(w) = w, on est sûrs que X définit une variable aléatoire gaussienne centrée réduite dans cet espace de probabilité, car P(X^(-1)([a,b])) = P([a,b]) = intégrale sur [a,b] de exp(-w²/2)/sqrt(2pi)dw.

Dans ce sens là oui, dans l'autre sens je suis pas sûr que ce soit juste

Le 06 décembre 2019 à 22:32:40 quine_ a écrit :

et par exemple si l'ensemble de départ c'est (R,B(R),P) avec P gaussienne centré réduite on est d'accord que X c'est juste l'identité ?

Tu veux pas plutôt dire :

Si l'espace de départ est (R,B(R),P) avec P une mesure de densité w -> exp(-w²/2)/sqrt(2pi) par rapport à la mesure de Lebesgue, alors en posant X(w) = w, on est sûrs que X définit une variable aléatoire gaussienne centrée réduite dans cet espace de probabilité, car P(X^(-1)([a,b])) = P([a,b]) = intégrale sur [a,b] de exp(-w²/2)/sqrt(2pi)dw.

Dans ce sens là oui, dans l'autre sens je suis pas sûr que ce soit juste

L'autre sens fonctionne pas. -id convient aussi.

Les questions d'existence d'espace probabilisés Omega et de variables aléatoires X_n sur Omega de lois prescrites ça reste des questions importantes et pas évidentes du tout, même si une fois qu'on se concentre sur les raisonnements probabilistes on oublie toutes ces considérations...

Rien que la preuve de l'existence d'un Omega et de v.a. X_n indépendantes sur Omega (qui se trouve être [0,1[) de loi uniforme sur [0,1[ c'est tout un petit délire qui fait intervenir le développement dyadique de chaque w...

Pour le reste des questions d'existence, le théorème d'extension de Kolmogorov est l'artillerie lourde qui fonctionne quasi tout le temps et permet une bonne fois pour toute d'oublier le Omega. En somme, le probabiliste peut enfin dormir sur ses deux oreilles (jusqu'à qu'il soit confronté à des constructions sophistiquées comme celle du mouvement brownien où il faut un peu tweaker le théorème pour garantir la continuité de chaque trajectoire) : https://en.wikipedia.org/wiki/Kolmogorov_extension_theorem

"The theorem says that provided the finite-dimensional distributions satisfy the obvious consistency requirements, one can always identify a probability space to match the purpose. In many situations, this means that one does not have to be explicit about what the probability space is. Many texts on stochastic processes do, indeed, assume a probability space but never state explicitly what it is. "

Je viens de tomber sur vos réponses merci beaucoup ,
Samy je vais prendre le temps de lire ça ca ma l’air très intéressant merci encore