Bonsoir, je me demandais

Si on a une suite récurrente de la forme U_n+1=f(Un) et que l'équation f(l)=l ne possède pas de solution, peut-on en conclure que la suite U ne converge pas ?

Dans mon cas, j'avais la suite Un+1=cos(Un) à étudier, je montre que tous les termes sont dans l'intervalle 0;1 à partir du rang 2, mais vu que f décroissante sur cet intervalle, j'extrais les suites des termes pairs et impairs toutes, deux censées converger, pourtant, quand je cherche les limites des termes pairs, je résouds cos(cos(l))=l et il n'y a aucune solution.

cos(cos(x))=x a une solution

et je comprends pas ton raisonnement, parce que pour montrer que la suite converge ca n'a pas l'air d'avoir un interet de considerer les termes pairs et impairs; et de toutes facons pour montrer que la suite est dans [0 1] (avec des conditions sur le terme initial) ca sert a rien d'etudier la convergence

quelle est la solution dans -1;1 du coup ?

Pour montrer la convergence il faut montrer Un bornée puis Un monotone. On a bien Un bornée mais puisque f est décroissante sur 0;1 le théorème nous dit que U_2n et U_2n+1 est monotone, de monotonie contraire.

quelle est la solution dans -1;1 du coup ?

environ 0.74

Le 05 novembre 2019 à 21:06:18 blue-tamere a écrit :
et je comprends pas ton raisonnement, parce que pour montrer que la suite converge ca n'a pas l'air d'avoir un interet de considerer les termes pairs et impairs; et de toutes facons pour montrer que la suite est dans [0 1] (avec des conditions sur le terme initial) ca sert a rien d'etudier la convergence

L'intérêt c'est d'avoir la monotonie puisque cos o cos est croissante sur [0,1], sa méthode peut aboutir, il suffit de montrer que les deux limites qu'il obtient sont les mêmes, ce qui est le cas par unicité de la solution à cos(cos(x)) = x sur [0,1]