Salut je galère sur une question un peu simple ,
la voici
La limite de la suite définie par U0= 2 et Un+1=cos(Un)/n , j'ai trois réponses possibles: 1 , 0 et -1 !
Merci d'avance !

indice : cos(x) € [-1,1]

Le 02 novembre 2019 à 14:24:56 quine_ a écrit :
indice : cos(x) € [-1,1]

Je vois pas en quoi ça m'aide

Le 02 novembre 2019 à 14:28:32 SunSworD_ a écrit :

Le 02 novembre 2019 à 14:24:56 quine_ a écrit :
indice : cos(x) € [-1,1]

Je vois pas en quoi ça m'aide

-1/n <= u(n+1) <= 1/n donc ...

-1 <= cos(Un) <= 1
-1/n <= cos(Un)/n <= 1/n
-1/n <= U(n+1) <= 1/n

lim n -> +inf de -1/n ?
lim n -> +inf de 1/n ?
Théorème des gendarmes ?

La fonction $x \mapsto \cos (x)$ est bornée. Donc $\exists ~ M \in \mathbf{R}_+ , ~ \forall ~ n \in \mathbf{N}_{>0} \left| u_{n+1} \right| \leq \dfrac{M}{n}$. La suite tend vers zéro car $\dfrac{M}{n} \xrightarrow[n \to \infty]{} 0$ par le théorème d'encadrement

Comment pouvez vous dire que x_n= cos(n) est bornée par -1 et 1 sachant que si je calcule les termes successifs on a cos(1) , cos(2)... ce ne sont pas des valeurs remarquables

à la limite si on avait y_n=cos(pi*n)

Une suite bornée ça veut juste dire :

Il existe M > 0 tq pour tout n, |Un| <= M

Donc là pour x_n = cos(n) on a bien que la suite (x_n) est bornée par 1 car pour tout n, |cos(n)| <= 1