Comment montrer proprement que 3>e ? Des idées ?

En utilisant des inégalités de convexité ça doit pouvoir se faire ?
Cependant, faut trouver une bonne fonction affine et se casser la tête pour voir l'intervalle de validité de l'inégalité, et c'est pas si simple de résoudre une inéquation de la forme exp(x) =< ax+b , ça doit pouvoir se faire avec des suites, mais ça demande un peu de boulot,

Là comme ça y a ça qui me vient à l'esprit mais y a probablement plus simple

j'ai pas fait les calculs mais ça doit pouvoir se faire en utilisant le développement en série de e et en majorant la série restante des 1/k! par une série géométrique de raison bien choisie à partir d'un k bien choisi (écrire e = 2 + somme 1/k! < série géométrique)

Tu peux aussi exploiter la multiplicativité de l'exponentielle en montrant que 1/e = exp(-1) = sum (-1)^n/n! > 1/3 via le critère des séries alternées

theoreme des accroissement fini

e^-1 = lim (1 - 1/n)^n

La suite est croissante et est > 1/3 pour n = 6, on en déduit que e^-1 > 1/3 et donc que e < 3.

Le 01 novembre 2019 à 16:58:36 Nathyll a écrit :
e^-1 = lim (1 - 1/n)^n

La suite est croissante et est > 1/3 pour n = 6, on en déduit que e^-1 > 1/3 et donc que e < 3.

Le 01 novembre 2019 à 16:58:36 Nathyll a écrit :
e^-1 = lim (1 - 1/n)^n

La suite est croissante et est > 1/3 pour n = 6, on en déduit que e^-1 > 1/3 et donc que e < 3.

c'est mignon de terminer ses messages par des petits coeurs

Le 01 novembre 2019 à 22:49:50 quine_ a écrit :

Le 01 novembre 2019 à 16:58:36 Nathyll a écrit :
e^-1 = lim (1 - 1/n)^n

La suite est croissante et est > 1/3 pour n = 6, on en déduit que e^-1 > 1/3 et donc que e < 3.

c'est mignon de terminer ses messages par des petits coeurs

Le 02 novembre 2019 à 13:41:50 GenieDesco a écrit :
3>e

On met en ln()

ln(3) > ln(e^1) = ln(3) > ln(1)

Ln est strictement croissant
Donc cqfd

ln(e^1)=1

Le 02 novembre 2019 à 13:41:50 GenieDesco a écrit :
3>e

On met en ln()

ln(3) > ln(e^1) = ln(3) > ln(1)

Ln est strictement croissant
Donc cqfd

Et même si c'était pas n'imp
Donc 3 > 1

Sinon :
e = 2 + 1/2 + 1/6 + (sum 1/k! (k=4 à +oo))
k! > 2^k pour k supérieur ou égal à 4, donc 1/k! <= (1/2)^k
la série restante est donc inférieure à (1/16)*2 = 1/8
donc e < 2 +1/2 +1/6 + 1/8 ~ 2.79

Le 02 novembre 2019 à 13:41:50 GenieDesco a écrit :
3>e

On met en ln()

ln(3) > ln(e^1) = ln(3) > ln(1)

Ln est strictement croissant
Donc cqfd

Mais

Le 01 novembre 2019 à 16:58:36 Nathyll a écrit :
e^-1 = lim (1 - 1/n)^n

La suite est croissante et est > 1/3 pour n = 6, on en déduit que e^-1 > 1/3 et donc que e < 3.

Le 02 novembre 2019 à 14:37:05 quine_ a écrit :
Sinon :
e = 2 + 1/2 + 1/6 + (sum 1/k! (k=4 à +oo))
k! > 2^k pour k supérieur ou égal à 4, donc 1/k! <= (1/2)^k
la série restante est donc inférieure à (1/16)*2 = 1/8
donc e < 2 +1/2 +1/6 + 1/8 ~ 2.79

Pas mal celles là, merci !