J'ai une question qui porte sur les changements de variables en dimension n dans le cadre du cours de proba continue

Pour simplifier imaginons que j'ai un couple de va a densité (X,Y) et je cherche la loi de f(X,Y) ou f est un C1 diféo

Donc je prends un ensemble D quelconque de f(X,Y)(omega) et je dis que f(x,y) € D ssi (x,y) € f-1(D) et je réécris ça avec la densité de (X,Y). Sauf que pour utiliser mon théorème de changement de variable, j'ai besoins que D soit ouvert à priori, hors c'est pas le cas en général.
Donc je me demandais si avoir la densité sur tous les ouverts ça suffisait?

Ah et aussi autre question sur le changement de variable, parfois on réduit la dimension du vecteur aléatoire, par exemple en connaissant la loi de (X,Y) (dimension 2) et en cherchant la densité de XY (dimension 1). Comment ça se traduit en terme de changement de variable dans les intégrales puisque moi j'ai que les cas de changement de R^n -> R^n ?

Tu peux prendre l'intérieur de ton domaine, avec la mesure de Lebesgue ça change rien.

Pour conserver la dimension tu peux trouver la loi de (XY,X) par exemple, puis marginaliser sur la première variable.

Heu la mesure de Lebesgue n'ignore pas le bord d'un domaine, et ça le Cantor gras peut en témoigner

Sinon pour déterminer ta loi suffit de la connaître sur un pi-système générateur, non ?

Ah, possible. Mais bon en général quand on fait des probas on intègre pas sur ce genre de cas pathologique.

Le 17 octobre 2019 à 20:16:08 Prauron a écrit :
Tu peux prendre l'intérieur de ton domaine, avec la mesure de Lebesgue ça change rien.

Pour conserver la dimension tu peux trouver la loi de (XY,X) par exemple, puis marginaliser sur la première variable.

Je sais que la frontière d'un pavé est négligeable mais en général l'intégrale sur l'intérieur vaut pas l'intégrale sur l'ensemble entier. Enfin ça me chagrine un peu d'utiliser le th de changement de variable en disant "bon ça marche presque"
Sinon je dois utiliser l'identification en passant par l'espérance de f(X) ou f est une fonction test?
Et je sais pas ce qu'est un pi système

Pour conserver la dimension je peux faire ça en effet mais ça me semble un peu artificiel