Résoudre (z+1)^2n=(1-z)^2n

J'ai pensé a utilisé a^n-b^n, mais dans ma somme je vais reavoir des choses que j'arrive pas a manipuler ..

deux complexes sont égaux ssi ils ont même module et même argument
or Arg((z+1)^(2n)) = 2n*Arg(z+1) et Arg((z-1)^(2n)) = 2n*Arg(z-1) donc Arg(z+1) = Arg(z-1)
fais un dessin, et regarde ce que ça implique pour z

Sinon ça revient à dire que (z+1)/(1-z) est une racine 2n-ième de l'unité et à partir de la tu as juste à isoler z en écrivant (z+1)/(1-z) = exp(ikpin)

ca implique z nul ?

Le 07 octobre 2019 à 20:04:44 Belzeborg a écrit :
Sinon ça revient à dire que (z+1)/(1-z) est une racine 2n-ième de l'unité et à partir de la tu as juste à isoler z en écrivant (z+1)/(1-z) = exp(ikpin)

Mais du coup la ca fait un ensemble de solution qui dépend de n non ?

Le 07 octobre 2019 à 20:11:20 CarreDas69 a écrit :

Mais du coup la ca fait un ensemble de solution qui dépend de n non ?

Oui, et c'est plutôt logique que si tu changes n ça change les solutions

oui

J'ai écrit exp(ikpin) c'est exp(ikpi/n) k€{0,1,..,2n-1}

oui pour z nul ou z à n solutions ?
Autre truc que je comprend pas, dans un exo il faut determiner le degré et coefficients de P avec
P(z) = (1+iz)^5-(1-iz)^5 J'imagine qu'il faut pas développer mais donc comment fairE ?

Oui ca depend de n, non ca n'implique pas z nul. Fais les calculs.

ok et pour revenir sur la méthode de MecaFlu j'ai pas compris alors comment avec sa méthode on pourra retrouver ce résultat la ?

Et j'ai essayé de réinvestir sa méthode mais j'ai un truc contradictoire je crois sur un autre exo

EXO 2 : SpoilAfficherMasquerQuelque soit z complexe P(z) = (1+iz)^5-(1-iz)^5
Determiner le degré et Coeff de P
Determiner de 2 facons different les racines de P

Le 07 octobre 2019 à 21:00:53 blue-tamere a écrit :
Non ca n'est pas de degre superieur a 5 parce que tu ne peux pas creer de puissances superieures simplement avec des additions... Tu peux developper avec le binome de Newton par exemple. Meme si tu penses que ca n'est pas une bonne idee (pourquoi?), fais le au moins pour voir a quoi ca ressemble. C'est pas long et ca te permet de faire quelque chose plutot que dire que tu ne sais pas.

La suite c'est vraiment pas clair, pose tes calculs proprement. Le resultat "z est un reel" est faux.

bah ca me donne un truc assez moche, donc ok le degré de P est 5, et les coéfficient je les ai aussi. Mais ca m'aide pas pour la suite

Le 07 octobre 2019 à 20:52:16 CarreDas69 a écrit :
ok et pour revenir sur la méthode de MecaFlu j'ai pas compris alors comment avec sa méthode on pourra retrouver ce résultat la ?

Et j'ai essayé de réinvestir sa méthode mais j'ai un truc contradictoire je crois sur un autre exo

EXO 2 : SpoilAfficherMasquerQuelque soit z complexe P(z) = (1+iz)^5-(1-iz)^5
Determiner le degré et Coeff de P
Determiner de 2 facons different les racines de P

SpoilAfficherMasquer

Bon déjà determiner le degré de P et les coef je vois pas comment faire à part tout développer ce qui semble pas une bonne idée docn jsp comment faire. Meme si pour le degré ça l'air de pas excédé le degré 5

Ensuite je me suis dis que arg(1+iz)^5 = arg(1-iz)^5
Ce qui donne arg((1+iz)/(1-iz)) = 0 donc 1+iz/1-iz est un réel positif, je remplace z par a+ib et je dis que la partie imaginaire = 0 et il me reste la partie réelle je trouve donc (1-b)/(1+b), mais jsp ca correspond a quoi exactement ce résultat

Et aussi les modules qui sont égaux qui finit par donner b=0 donc z un réel

Maais comment exploiter ca?

En gros lui il ramène la résolution du problème à la recherche du module et de l'argument (ce qui marche souvent quand t'as des puissances ou des trucs multiplicatifs en général) en se ramenant à la résolution de deux équations : |z+1|=|z-1| (c'est une médiatrice) et Arg(z+1) = Arg(z-1) c'est un peu fastidieux mais la c'est plutôt en terme de racine n-ième que ça se fait bien...

Ok et donc pour revenir sur l'exo 2, j'arrive a determiner le degre et le coef et j'ai donc
P(z) = z(iz^4+5z^3(-20i-10)z²+20z+11i-5)
Donc la première racine c'est z = 0
et pour le reste on avait vu en cours que on pouvait diviser par z² dans certains cas pour se ramener a une équation du 2nd degré en posant un X
Mais la j'ai pas l'impression que ca va être bon a cause des coefficient qu'on a non ?

J'ai trouvé l'autre méthode : via la racine 5-ième, du coup ca crée la condition 1-iz =|= de 0 ca marche bien pour ca