Salut,

J'ai eu mal avec la notion d'implication.

Le fait que quelque chose de faux puisse impliquer du vrai par exemple, si je prends 2=3 et que je multiplie par 0 des deux côtés je pars bien de quelque de chose de faux et j'arrive à 0=0 qui est vrai.
Donc l'implication est vraie, pourtant si en devoir je pars d'un truc faux pour arriver à une propriété que je souhaite démontrer le prof me mettra 0.

C'est ça que je comprends pas, pourquoi en logique on considère cette implication vraie alors qu'en pratique on peut pas démontrer quelque chose de cette manière

Merci

Je comprends bien ça.

Mais si on me demande de prouver que 0=0 et que j'utilise le raisonnement 3=4 donc 3*0=4*0 donc 0=0, alors j'ai bon ?

En quoi le raisonnement serait faux, après tout avec une table de vérité l'implication est bonne.

parce qu'on te demande de prouver 0 = 0 à partir d'un certain nombre d'axiomes et d'hypothèses considérées vraies. tu n'as pas le droit de rajouter une hypothèse du type 1 = 2, sinon tu n'es plus dans le même cadre d'étude.

La clé pour comprendre l'implication c'est de distinguer raisonnement (déduction logique) et opérateur logique (implication).

Dire on a 2=3, donc 3=4. C'est faux, parce que "on a 2=3" est faux, donc on en peut rien en déduire.

A contrario, 2 = 3 => 3 = 4 est vrai, parce que l'implication est définie de sorte à ce qu'une proposition fausse implique tout et n'importe quoi. Il y a de très bonnes raisons à ça :

On veut que l'implication soit un moyen de vérifier si la véracité est bien préservée.

Si on part du faux, pour arriver à du faux, on a pas perdu en véracité, on en est toujours au même point.

Si on part du faux, pour arriver à du vrai, on a gagné en véracité, donc c'est ok.

Si on part du vrai, pour en arriver à du vrai, on a pas perdu en véracité, c'est ok.

Mais si on part du vrai pour en arriver à du faux, y a un problème, on a perdu en véracité.

D'où :

F => F vraie
F => V vraie
V => V vraie
V => F fausse

Le seul cas où on perd de la véracité c'est V => F.

Mais si on me demande de prouver que 0=0 et que j'utilise le raisonnement 3=4 donc 3*0=4*0 donc 0=0, alors j'ai bon ?
En quoi le raisonnement serait faux, après tout avec une table de vérité l'implication est bonne.

Et c'est là qu'on revient à la distinction entre la déduction et l'implication.

Toi, tu as prouvé que 3=4 => 0=0, en fait il n'y a pas besoin de le prouver vu qu'on sait que 3 != 4, donc l'implication est vraie.

Mais comment tu passes de cette implication au fait 0 = 0 ? Bah, tu peux pas.

Tu as prouvé que si on avait 3 = 4, on aurait aussi 0 = 0, c'est bien, mais 3 = 4 est faux, donc tu n'as pas prouvé 0 = 0. Tout ce que tu as démontré c'est qu'une certaine implication est vraie.

Mais bon, il y a bien un lien entre implication et déduction logique, c'est le modus ponens.

Le modus ponens il te dit que si tu as P vraie et P => Q vraie, alors tu peux en déduire Q. Et c'est là que tu vois qu'il faut quelque chose en plus pour la déduction, il faut que la prémisse soit vraie. Ici dans ton exemple ce n'est pas le cas.

Par contre, si j'énonce le théorème p/q = p'/q' => pq' = p'q pour p,q,p',q' des rationnels avec q et q' non nuls
Alors, en vérifiant qu'on a bien 3/4 = 6/8, je peux en déduire que 3 * 8 = 6 * 4.

Bref, la moralité de l'histoire c'est que l'implication n'est pas un "donc", et qu'il ne faut pas substituer au raisonnement des opérateurs logiques.

Si sur ta copie tu écris

f dérivable en x0 => lim f(x) - f(x0) / x - x0 finie
=> lim x - x0 * lim f(x) - f(x0) / x - x0 = 0
=> lim f(x) - f(x0) = 0
=> lim f(x) = f(x0)
=> f continue en x0

Eh bien, formellement, tu n'as pas prouvé que f est continue en x0, quand bien même f est dérivable en x0, et quand bien même toutes tes implications sont vraies. Tu as montré des implications, mais tu n'as jamais invoqué le modus ponens à la fin. Tu n'as jamais dit, "et comme f est dérivable en x0, alors on peut déduire de notre implication que f est continue en x0".

C'est d'ailleurs pour ça qu'aucun texte mathématique n'est rédigé comme ça, on écrit pas des suites d'implications. On écrit des suites de déductions.

f est dérivable en x0, donc la limite f(x) - f(x0) / x - x0 est finie, comme x - x0 tend vers 0, alors par produit de fonctions qui admettent une limite finie en x0, on a f(x) - f(x0) qui tend vers 0 en x0, et donc f(x) tend vers f(x0) en x0, on en déduit la continuité de f en x0.

Tu confonds les formules logiques, qui sont des assertions, et les preuves, qui sont des méthodes pour démontrer ces assertions.
Une implication, c'est une formule logique. Pas une méthode de preuve.

Si on te demande de démontrer la formule "3=4 implique 0=0", tu peux la démontrer comme tu as dit :
- supposons que 3=4,
- Alors en multipliant par 0 de chaque côté, on obtient 3*0=4*0, c'est à dire 0=0.

Cette preuve est parfaitement correcte.
Démontrer que A implique B, ça veut dire démontrer B, en se donnant le droit de supposer l'hypothèse A.
Note que ici tu n'avais en fait même pas besoin d'utiliser l'hypothèse A. Tu pouvais directement prouver 0=0 sans te servir de l'hypothèse ; c'est une autre preuve valide.

Mais si on me demande de prouver que 0=0 et que j'utilise le raisonnement 3=4 donc 3*0=4*0 donc 0=0, alors j'ai bon ?

Là, la formule que tu veux prouver, c'est "0=0". Ce n'est pas une implication.

Dans ta preuve, implicitement, ce que tu cherches à utiliser c'est le principe du modus ponens. Il dit que si on démontre "A implique B", et que l'on démontre A, alors on a démontré B.

Ici ton A c'est "3=4" et ton B c'est "0=0". Comme on a dit au dessus, l'implication "3=4 implique 0=0" est parfaitement vraie et démontrable. Par contre, pour en conclure que 0=0, il faudrait en plus que tu arrives a démontrer que 3=4. Et ça, tu vas avoir bien du mal...

Ah je commence à comprendre.

Un peu comme la récurrence, pour montrer qu'une propriété est vraie pour tout n, on a non seulement besoin de prouver l'implication P(n)=>P(n+1) mais également de prouver que P(0) est vraie.

Car on peut très bien avoir l'implication vraie sans que la propriété ne soit jamais vraie si on ne peut pas trouver un n qui convient.