Salut,

J'ai une équation : y'(t) = a(t)y(t)

On suppose que a(t) est a valeur réel et y est solution de l'équation et est a valeur complexe, j'aimerais montrer que Re y et Im y sont aussi solutions de l'équation différentiel

J'ai tenté quelques trucs, par exemple
J'ai dit que y(t) = y1(t) + i*y2(t) ou y1 et y2 sont a valeur réel.
on a y(t)_bar = y1(t) - i*y2(t).

De la j'ai donc y1(t) = (y(t) + y(t)_bar)/2
Puis comme y(t) est solution de l'équation alors y(t) = C*exp(A(t)) avec A(t) une primitive de a(t)
et comme a(t) est a valeur réel alors A(t) aussi et donc y(t)_bar = C*exp(A(t))
donc y1(t) = (C*exp(A(t)) + C*exp(A(t)) )/2 = C*exp(A(t)) = y(t)... ah !

Peut etre que j'ai fait que de la ***** qui n'a aucun sens mais si quelqu'un peut m'aider ca serait gentil

Merci

"comme a(t) est a valeur réel alors A(t) aussi et donc y(t)_bar = C*exp(A(t)) "

Ca devrait etre C_bar non? La constante peut etre complexe

Le 27 septembre 2019 à 15:51:51 blue-tamere a écrit :
"comme a(t) est a valeur réel alors A(t) aussi et donc y(t)_bar = C*exp(A(t)) "

Ca devrait etre C_bar non? La constante peut etre complexe

Oui en effet, donc en fait ca donne y1(t) = (C*exp(A(t)) + C_bar*exp(A(t)) )/2
(après comment bien justifier que C_bar*exp(A(t)) est une solution. Ça le fait si je dit "On modifie juste la constante" ? )

Puis comme l'ensemble des solutions de l'équation est un espace vectoriel, alors j'imagine qu'on peut conclure que y1(t) est une solution. Et si tout ca est correct, c'est presque la meme chose pour Im y

" comment bien justifier que C_bar*exp(A(t)) est une solution. Ça le fait si je dit "On modifie juste la constante" ? )"
Oui, y'a rien de magique, l'ensemble des solutions c'est l'ensemble des t->C*exp(A*t) pour C parcourant l'ensemble des complexes. Donc tu peux prendre n'importque quelle constante (C_bar, C^2, 12, i, ...) qui multiplie l'exponentielle et ca marchera toujours

Tout est base sur le fait que l'equation est lineaire, et que donc n'importe quelle combinaison lineaire de solutions reste une solution