Je comprend pas :
Soit f une application de E dans F, et A et B deux parties de E
J'arrive a montrer que f(AnB) inclus dans f(A) n f(B)
pourtant ca me parait pas logique et graphiquement il me semble que j'arrive a trouver un contre exemple.

up

Si tu poses proprement les choses normalement ça vient tout seul Prend un élément de f(AnB) et considère un antécédent de cet élément

Si y est dans f(AnB) alors y=f(x) avec x dans AnB. Tu continues ?

donc x appartient à A et x appartient à B aussi
f(x) appartient à f(A) et à f(B)
f(AnB) inclus dans f(A) et f(B) ?

C'est quoi ce que tu penses être un contre-exemple ?

La négation de : Quelque soit (A;B) appartenant à P(E)²; f(AnB)=f(A)nf(B)

est : (1) SpoilAfficherMasquerIl existe (A;B) tel quel f(AUN) /= f(A) U f(B)

ou bien : (2) SpoilAfficherMasquerIl existe (non(A),non(B)) tel que f((nonA)U(nonB)) /= f(nonA) U f(non(B)

Il existe (A,B) tel que f(AnB)=/=f(A)nf(B) tout simplement

Tu fais référence au complémentaire quand t'écris non A et non B ?

Le 22 septembre 2019 à 13:43:05 skywear a écrit :
C'est quoi ce que tu penses être un contre-exemple ?

La on voit que f(AnB) non inclus dans f(A) n f(B) (qui est vide)

Le 22 septembre 2019 à 13:50:22 skywear a écrit :
Il existe (A,B) tel que f(AnB)=/=f(A)nf(B) tout simplement

Tu fais référence au complémentaire quand t'écris non A et non B ?

oui au complémentaire, car une question d'après est,
Montrez que f est injective ssi Quelque soit (A;B) appartenant à P(E)²; f(AnB)=f(A)nf(B)

Dans ton dessin tu t'es chié, vu que le rond orange est aussi un rond vert
l'unique élément de AnB est dans B, donc faut aussi mettre son image par f dans f(B) et ça tu l'as pas fait

C'est vraie ..

Est ce que ça ça marche, pour mon équivalence que je veux prouver ;

Soit f : E->F, f est injective.

Donc f(x) = f(x') ==> x=x'

Soit x appartenant à AnB, donc x appartient à A
Soit x' appartenant à AnB donc x' appartient à B

f(x)=f(x')=f(AnB)
Donc f(A) et f(B) = f(AnB)

Ca ça serait f injective implique, f(AnB) = f(A) n f(B)

f(x) c'est un élément de F, f(AnB) c'est une partie de F donc déjà c'est pas homogène

Bah c quoi alors

Pour cette implication, il te suffit de montrer que f(A)nf(B) est inclus dans f(AnB) (car tu as vu que l'autre inclusion était toujours vraie)
Donc on prend y dans f(A)nf(B) ; on peut écrire y=f(x) avec x dans A, et y=f(x') avec x' dans B. Maintenant tu peux utiliser l'injectivité de f pour conclure
(ce que tu veux trouver, c'est un antécédent de y qui est à la fois dans A et dans B)

Pour l'autre implication (montrer que f est injective), tu peux prendre x=/=x' et montrer que f(x)=/=f(x') en utilisant la propriété supposée pour A={x} et B={x'}

Merci beaucoup