Bonsoir je ne comprends pas la correction de cet exercice (et s'il existe une autre preuve je suis preneur) :

Exercice : Soit E muni d'une relation d'ordre On suppose que toute partie non vide de E admet un plus grand et un plus petit élément. J'ai montré dans un premier temps que la relation d'ordre est total et la seconde question porte sur la finitude de E.

Dans la correction il suppose E infini et note x_0 le plus petit élément de E, x_1 le plus petit élément de E privé de x_0 et on itère n fois . Il conclut en disant que l'ensemble (x_0,x_1,...,x_n) n'admet pas de plus grand élément. Je ne vois pas où se trouve la contradiction.

Exercice 2 : Soit 1 une fonction de P(E) dans l'ensemble des fonctions de E dans l'ensemble 0;1 définie par $1(A)=1_A$. Montrer que 1 est une bijection.
Injection pas de problème : j'ai du mal pour la surjection et je comprends pas ce qu'a fait mon prof :
Pour moi, pour montrer que 1 est surjective il faut montrer que pour toute fonction f de E dans 0;1 qu'il existe une partie de A, l'expliciter telle que 1(A)=f.

Il faudrait donc expliciter A, cependant mon prof, le fait autrement : il pose A=f^-1(singleton1) et montre pour tout x dans E $f=1_A$. Ce raisonnement est-il valable ? De plus, une fois montré que $f=1_A$, il faut toujours montrer que la fonction indicatrice de A est surjective non, ou s'est admis ?

Merci

Pour le 1), j'aurais plutôt considérer l'ensemble des x_i où i parcourt N. Cet ensemble (qui est infini) n'a pas d'élément maximal par définition des x_i.
Pour le 2), je vois pas trop ce qui te gêne. Poser A=f^-1(singleton1), c'est bien expliciter A non ? Et je vois pas le rapport avec la surjectivité de l'indicatrice de A ( qui ne l'est d'ailleurs pas si A est l'ensemble vide ou E).

Ta suite finie admet un plus grand élément, car la famille de ses termes admet un max. La contradiction n'est pas là. C'est ta suite qui n'a pas de maximum. En supposant qu'il y en a un, tu as crée un isomorphisme d'ordre entre N et un segment initial de E. Or ce segment admet un max $x_{\text{max}}$, donc $\mathbb N \simeq [x_0,x_{\text{max}}]$ est borné, donc fini...

Pour le deuxième exercice, ce que fait ton prof est correct. On regarde les éléments qui atterrissent sur 1, puis on passe à l'indicatrice pour détecter ces éléments, on a 1(.) surjective. Par contre 1(A) n'a pas besoin d'être surjective (par exemple 1(E) ne l'est pas).

Une autre façon de le voir, c'est dire que ta suite est strictement croissante et c'est incompatible avec l'existence d'un maximum.