Je sais que la convergence uniforme implique la convergence simple

Mais je sais aussi que par exemple la convergence en moyenne ( norme 1 ) n'implique pas forcément la convergence point par point (simple)

Y a t'il un résultat qui nous dit à quelle condition la convergence en norme (pas forcément la norme infinie) implique la convergence simple? en particulier pour les normes usuelles (1 et 2)

Dans les L^p avec 1<= p < ∞ t'as la convergence presque partout d'une sous-suite. Après est-ce qu'il y a des résultats plus généraux, pas à ma connaissance.

Si tu as une convergence L^p alors il existe une sous suite qui converge presque sûrement vers la même limite (c'est un résultat qu'on obtient quand on essaye de démontrer Riesz-Fisher). Si t'as des hypothèses du type monotonie de la suite de fonctions tu peux donc en déduire une convergence ps directement mais dans le cas général tu peux pas dire grand chose.

En fait c'est parce que j'ai un cours de traitement du signal et l'aspect mathématique (analyse de fourrier) est disons assez ignoré pourtant moi ça m'aide à mieux comprendre/retenir.

Genre on développe une fonction en série de fourrier (dans l'espace des fonctions de carré intégrable) telle que la suite des sommes partielles de la série de fourrier converge quadratiquement vers la fonction de départ, mais ça ne donne pas pour autant la convergence point par point d'où par exemple le phénomène de gibbs ?

Oui faut des hypothèses plus fortes pour avoir une convergence point par point (par exemple C1 par morceaux). Les sommes de Cesaro elles convergent bien mieux.

Pour les séries de Fourier c'est particulier, t'as un théorème (très difficile à montrer) de Carlson qui dit que les sommes de Fourier de f (si f est L^2) convergent presque partout vers f.

Le 15 septembre 2019 à 18:07:42 [BAN]DonDoritos a écrit :
Pour les séries de Fourier c'est particulier, t'as un théorème (très difficile à montrer) de Carlson qui dit que les sommes de Fourier de f (si f est L^2) convergent presque partout vers f.

Mais a t'on une condition pour la forcer à converger partout c'était ça ma question

Comme indiqué par mon vdd, pour la convergence point par point, tu peux supposer f continue et C^1 par morceaux. On peut même affaiblir en f continue à variations bornées.