Bonsoir,

Soit E un ensemble muni d'une relation d'ordre. On dit que E est un ensemble de zermelo si pour tous $a\neq b, \left \{ a;b \right \}$ dans E admet une borne supérieure et une borne inférieure. On dit que E est un ensemble de Birkhoff si toute partie de E admet une borne supérieure.

Première partie : on suppose la relation d'ordre totale. J'ai montré que E est de Zermelo
E admet-il forcément un plus grand et un plus petit élément ? .J'ai compris comment le faire mais c'est très peu formel :

On suppose que E a certains éléments $\left \{ a,b,c..., \right \}$ On va utiliser le fait que E est de Zermelo plutôt que le fait que la relation d'ordre est totale afin de ne jamais prendre les mêmes éléments.
Pout toute partie à deux éléments de E on a a $a\preceq b ou b\preceq a$ avec la borne sup et inf qui est atteinte puisque la relation d'ordre est totale. Quitte à permuter $a et b$ on prend $a\preceq b$ Soit $\left \{ b;c \right \}$ une partie de E. Quitte a permuter $a$ et $c$ on a $b\preceq c$ Par transitivité de la relation d'ordre on c qui est un majorant de $x$ pour x dans $ left\{ a,b;c \right \}$ . Ainsi, on atteint petit à petit tous les éléments en prenant à chaque fois des parties de E a deux éléments, ce qui nous permet d'affirmer l'existence d'une borne supérieure atteinte. On raisonne de même en prenant A pour montrer que E
Deux problèmes : c'est peu formel, compliqué et long et il me semble pas qu'il soit aussi simple de permuter les variables

Dans cette question on suppose que E est un ensemble de Birkhoff (on ne suppose plus la relation d'ordre totale)
Montrer que E a un plus grand élément et un plus petit élément.

Des pistes ?

Merci

Ou alors tu donnes un contre exemple tout con, tu connaitrais pas un ensemble muni d'une relation d'ordre totale qui n'a pas de plus petit ou de plus grand élément ?

Pour la dernière question que peux-tu dire de $\sup E$ et $\sup \varnothing$ ?

L'ordre usuel. Cependant E est quelconque ici et si on considère l'ensemble des entiers naturels compris entre 0 et n on a bien un majorant et en plus petit élément. La relation est totale et E est de Birkhoff

On a sup vide = vide mais je sais pas ce que donne sup E.

E (de Zermelo) admet-il forcément un plus grand et un plus petit élément ?

Regarde $E = \mathbb N$ avec l'ordre usuel.

Le 14 septembre 2019 à 20:26:47 IntellectSup a écrit :
On a sup vide = vide mais je sais pas ce que donne sup E.

Vide je ne sais pas, c'est un élément de E par hypothèse.
On te demande d'établir l'existence d'un min et d'un max sur E.

Ça s'appelle pas plus généralement un treillis ce que t'appelles un ensemble de Zermelo d'ailleurs ?