Bonjour, quelqu'un aurait une piste pour montrer que l'adhérence de sin(n) est [-1,1] ? C'est équivalent à montrer que l'ensemble des points générés par des rotations d'angle 1 rad dans le cercle unité est dense dans le cercle unité mais j'ai pas trop d'idée pour montrer ça
On montre facilement que l'ensemble de ces points est infini et dénombrable, je sais aussi qu'il y a un résultat sur les parties dénombrables de points séparés dans un compact mais ça me semble un peu sortir l'artillerie lourde, vous en pensez quoi ?

Tu connais les sous groupes additifs de R ?(tu dois les connaître pour la suite).

Je te donne des indications sans te balancer la réponse : Regarde à quelle condition aZ + bZ est dense dans R (a et b réels) et tu pourras essayer de conclure.

Moi j'avais fait ça comme application de « Les sous groupes additifs de R sont denses ou de la forme xZ avec x€R » et il faut aussi admettre l’irrationalité de pi

Pi irrationnel c'est très accessible, c'est transcendant qui l'est pas du tout

Aaaaaaah mais oui merci ! J'avais complètement oublié l'histoire de densité des sous-groupes réels !

Le 28 août 2019 à 20:26:29 Sureminence a écrit :
Pi irrationnel c'est très accessible, c'est transcendant qui l'est pas du tout

Si tu as une preuve simple de l’irrationalité de pi je prends

http://asoyeur.free.fr/fichiers_ps/2003/dl/dl_06_integration.pdf C’est la preuve la plus simple que je connaisse

Le 29 août 2019 à 00:14:24 Hypobowling a écrit :
http://asoyeur.free.fr/fichiers_ps/2003/dl/dl_06_integration.pdf C’est la preuve la plus simple que je connaisse Si on te donne les étapes c'est pas dur oui après mais pour la trouver..

Oui tu ponds quand même une quantité qui sort de nulle part et tu montres quelques résultats intermédiaires

Le 29 août 2019 à 01:15:16 TheLelouch4 a écrit :

Le 29 août 2019 à 00:14:24 Hypobowling a écrit :
http://asoyeur.free.fr/fichiers_ps/2003/dl/dl_06_integration.pdf C’est la preuve la plus simple que je connaisse Si on te donne les étapes c'est pas dur oui après mais pour la trouver..

Oui tu ponds quand même une quantité qui sort de nulle part et tu montres quelques résultats intermédiaires

C'est vrai que ça semble sorti du chapeau, présenté comme ça.

Il me semble qu'il y a des techniques pour établir l'irrationalité d'un nombre (ou pour estimer la mesure d'irrationalité ?), qui maintenant sont "standards" en théorie des nombres, et sont basées sur les propriétés des polynômes de Legendre et des séries hypergéométriques. Si bien qu'on peut calquer la même méthode pour prouver l'irrationalité de e, log(n), zeta(2n), zeta(3) [c'est pas la preuve donnée par Apéry], pi^n, etc.

Après si tu cherches les explications sur l'heuristique derrière tout ça... bon chance.

Le 29 août 2019 à 01:15:16 TheLelouch4 a écrit :

Le 29 août 2019 à 00:14:24 Hypobowling a écrit :
http://asoyeur.free.fr/fichiers_ps/2003/dl/dl_06_integration.pdf C’est la preuve la plus simple que je connaisse Si on te donne les étapes c'est pas dur oui après mais pour la trouver..

Oui tu ponds quand même une quantité qui sort de nulle part et tu montres quelques résultats intermédiaires

c'est un peu ce que je déteste en maths, t'as énormément de trucs qui sortent de nulle part et pas assez de blabla pour expliquer d'où ça vient. genre au moins dire "on étudie tel polynôme car...", quitte à faire le problème à l'envers jusqu'à trouver le bon polynôme. j'ai jamais vu ce problème en physique.

Le 29 août 2019 à 12:39:48 MecaFlu a écrit :

Le 29 août 2019 à 01:15:16 TheLelouch4 a écrit :

Le 29 août 2019 à 00:14:24 Hypobowling a écrit :
http://asoyeur.free.fr/fichiers_ps/2003/dl/dl_06_integration.pdf C’est la preuve la plus simple que je connaisse Si on te donne les étapes c'est pas dur oui après mais pour la trouver..

Oui tu ponds quand même une quantité qui sort de nulle part et tu montres quelques résultats intermédiaires

c'est un peu ce que je déteste en maths, t'as énormément de trucs qui sortent de nulle part et pas assez de blabla pour expliquer d'où ça vient. genre au moins dire "on étudie tel polynôme car...", quitte à faire le problème à l'envers jusqu'à trouver le bon polynôme. j'ai jamais vu ce problème en physique.

Dans le raisonnement complet la façon de trouver le polynome doit apparaître mais en soit tout l'étape de recherche du polynome est inutile à la démonstration donc par soucis de concision elle est pas donnée
C'est comme les exos ou faut introduire une suite ou une fonction magique

Y a une autre preuve de Lambert utilisant les fractions continues et le quotient des séries entière de tan = sin/cos pour aboutir à une certaine forme de fraction continue pour tan(u/v) qui est irrationnelle quand u,v sont entiers (sauf cas nul), ensuite on applique ça à tan(pi/4) = 1
C'est plus intuitif mais plus long à formaliser

Le 29 août 2019 à 12:39:48 MecaFlu a écrit :

Le 29 août 2019 à 01:15:16 TheLelouch4 a écrit :

Le 29 août 2019 à 00:14:24 Hypobowling a écrit :
http://asoyeur.free.fr/fichiers_ps/2003/dl/dl_06_integration.pdf C’est la preuve la plus simple que je connaisse Si on te donne les étapes c'est pas dur oui après mais pour la trouver..

Oui tu ponds quand même une quantité qui sort de nulle part et tu montres quelques résultats intermédiaires

c'est un peu ce que je déteste en maths, t'as énormément de trucs qui sortent de nulle part et pas assez de blabla pour expliquer d'où ça vient. genre au moins dire "on étudie tel polynôme car...", quitte à faire le problème à l'envers jusqu'à trouver le bon polynôme. j'ai jamais vu ce problème en physique.

C'est surtout un problème avec l'enseignement des mathématiques. Surtout en prépa d'ailleurs, l'idée est toujours de partir d'un résultat intuitif, de retirer les heuristiques de l'énoncé et de te laisser te démerder avec.
Par exemple j'avais vu une question des Mines 2018 qui demandait de prouver que $\sum_{i=2}^n E \left( n^{\frac 1 i} \right) = \sum_{k=2}^n E \left( \frac{\ln(n)} {\ln(k)} \right)$ pour n >= 2
Ça a l'air de tomber de nul part mais c'est une trivialité une fois qu'on a la bonne représentation (à savoir inscrire les différentes écritures de n dans les bases de 2 à n dans un rectangle en rajoutant une ligne pleine au début puis colorier certains points et comparer le nb de pts coloriés)

Le 29 août 2019 à 13:01:00 TheLelouch4 a écrit :

Le 29 août 2019 à 12:39:48 MecaFlu a écrit :

Le 29 août 2019 à 01:15:16 TheLelouch4 a écrit :

Le 29 août 2019 à 00:14:24 Hypobowling a écrit :
http://asoyeur.free.fr/fichiers_ps/2003/dl/dl_06_integration.pdf C’est la preuve la plus simple que je connaisse Si on te donne les étapes c'est pas dur oui après mais pour la trouver..

Oui tu ponds quand même une quantité qui sort de nulle part et tu montres quelques résultats intermédiaires

c'est un peu ce que je déteste en maths, t'as énormément de trucs qui sortent de nulle part et pas assez de blabla pour expliquer d'où ça vient. genre au moins dire "on étudie tel polynôme car...", quitte à faire le problème à l'envers jusqu'à trouver le bon polynôme. j'ai jamais vu ce problème en physique.

Dans le raisonnement complet la façon de trouver le polynome doit apparaître mais en soit tout l'étape de recherche du polynome est inutile à la démonstration donc par soucis de concision elle est pas donnée
C'est comme les exos ou faut introduire une suite ou une fonction magique

est-ce que le but de ce genre d'exos c'est juste de suivre des étapes ou de comprendre la logique qu'il y a derrière ?