Bonjour, il y a quelques mois on m'a donné l'exercice suivant.

Soit f une fonction dérivable en a tel que f(a) différent de 0.
Déterminer $\lim_{n\rightarrow inf }( \frac{f(a+1/n)}{f(a)})^n$.

Je l'avais résolu en passant par l'exponentielle, puis grâce au nombre dérivé de ln(f(a))', afin de trouver, par continuité que cette limite vaut $e^(f'a/f(a))$.

Cependant, je viens de me rendre compte de deux problèmes :
-Pour passer par l'exponentielle il faut déjà que f(a+1/n)/f(a) soit positif, ce qui n'est pas précisé, puis quand on passe au nombre dérivé, il faut également que f(a+1/n) et f(a) soient positifs.

Ainsi, je n'ai montré le résultat que pour des valeurs positives de f. Or, le résultat demeure vraie pour des valeurs négative de f. Comment le montrer ? (sans passer par les DL)

Merci

Ce n'est pas un problème insurmontable.

Déjà ta fonction étant dérivable en $a$ elle y est continue. Ainsi le rapport $\frac{f(a+1/n)}{f(a)}$ se rapproche de l'unité, si bien qu'à partir d'un certain rang, il dépassera $1/2$ par exemple. Au passage, ça renseigne le signe de $f(a+1/n)$ à partir de ce rang, ce sera celui de $f(a)$.

Pour finir, quitte à remplacer $f$ par $-f$, tu peux supposer $f(a)>0$ et conclure (pourquoi ?).

$f$ ne peut pax changer de signe entre a+1/n et a ?

Ensuite, on peut remplacer f par -f que si n est pair non. $n$ tend vers plus infini mais il faut traiter le cas impair

Le 16 août 2019 à 17:19:43 IntellectSup a écrit :
$f$ ne peut pax changer de signe entre a+1/n et a ?

Ensuite, on peut remplacer f par -f que si n est pair non. $n$ tend vers plus infini mais il faut traiter le cas impair

Oui, faut trouver un intervalle $[a,a+\delta]$ avec $\delta > 0$ sur lequel $f$ est de signe constant.
Pour $f$ ou $-f$, la parité de $n$ n'intervient pas. Que peux-tu dire sur $g(a+1/n)/g(a)$ et $g'(a)$ avec $g=-f$ ?

On a égalité entre les deux quotients, puisque qu'il suffit de multiplier par -1. Mais ce que j'ai du mal à comprendre c'est que tu as beau supposé le nombre $f(a)$ positif, f peut changer de signe sur (a;a+delta) comme tu l'as signalé. De même, en posant g=-f on se retrouve avec le même problème

Non justement, comme f(a) est non nul, par continuité il existe un petit voisinage de a sur lequel f ne prend que des valeurs < 0 ou bien > 0. Ça se voit sur un dessin http://sketchtoy.com/69008662

Si on suppose $f(a)>0$, par continuité on a un petit voisinage $V = [a-\delta,a+\delta]$ sur lequel $f(x)>0$ (suffit d'écrire la définition de la limite pour $f(x) \to f(a)$ avec un $\varepsilon$ suffisamment "petit"). Pour des $n$ assez grands, $a+1/n$ tombe dans ledit voisinage. Ensuite $x \in V\mapsto \log f(x)$ peut être dérivée en $a$ etc.

Si $f(a)<0$ on applique ce qui précède à $g$ et on obtient le même résultat après simplification des "$-$".

Merci beaucoup, c'est très clair !