Bonjour,

Quand on dit : montrer qu'une fonction est bornée sur un intervalle, les bornes de f doivent-elles être des réels fixés, ne dépendant d'aucun paramètre ? Par exemple, mon prof disait qu'un majorant/minorant d'une suite ne peut pas dépendre de l'entier $n$, ce que je conçois bien.

Par exemple, j'avais cet exercice : Soit f une fonction de R dans R continue, telle qu'elle admet une limite $l$ en $\infinity$ et $l'$ en moins l'infini. Montrer que f est bornée;

Je vous passe les détails et les notation mais en fixant le même epsilon pour les deux limites, je trouve que
$min(l-e;l'-e,m)‹f‹max(l+e;l'+e;M)$ ([m;M]) est l'intervalle image de f ou f ne diverge pas. Puisque $e$ est un réel strictement positif quelconque, même si je ne décide pas de le fixerai-je montré que f est bornée ou cela manque de rigueur /est faux étant donné qu'il y a toujours une variable dans les bornes?
Dans la correction, il fixe $e=1$, mais bon je voulais savoir si cela sert réellement de poser une valeur de $e$

Merci

Tu sais qu'elle est bornée au voisinage de -inf et +inf car elle y admet des limites finies, et tu sais qu'entre les deux elle est aussi bornée car une fonction CONTINUE sur un SEGMENT est bornée. Donc au final elle est bornée sur R (en gros ça c'est l'idée, après faut le rédiger proprement!) . C'est pe ce que tu as voulu dire mais c'est pas très bien rédigé

Sinon je comprends pas trop ta question, les bornes dépendent évidemment de f mais c'est quoi des réels pas fixés dans ton cas là?
Pour la valeur de e, tu la choisis de manière arbitraire ça sert à rien de garder un "e" général donc autant la fixer à un nombre simple, 1 par exemple.

EDIT: Ah et aussi pour montrer que f est borné en général on utilise la valeur absolue et on écrit Vx, |f(x)|<M au lieu de s'embêter avec majorant et minorant.

Merci pour la réponse si rapide, je ne cherchais pas à rédiger l'exercice (c'est pour ça que mon explication doit paraître obscure). Ce que je veux dire c'est que dans mes bornes, il y a du epsilon. Or je peux prendre un epsilon quelconque, c'est ce que j'entends par "réel pas fixé". Dans la correction, il pose epsilon=1, et donc les bornes "ne dépendent" d'aucune variable. S'il pose une valeur de epsilon, bien qu'elle soit quelconque, je me demandais si c'était par pur rigueur.

Autre question : En prépa, quand les récurrences sont évidentes peut-on abréger en disant : 'par récurrence évidente blabla" où il faut la rédaction complète. Merci

S'il pose le epsilon c'est pour utiliser la définition de la limite et dire qu'a partir d'un certain "rang" ta fonction est epsilon proche de la limite (donc bornée) au voisinage de l'infini ou la limite est atteinte. Effectivement les bornes dépendent de epsilon mais epsilon est fixé (soit epsilon >0)... donc c'est bien indépendant de la variable x. Peut être qu'en rédigeant complètement tu pourrais mieux saisir ce qu'il se passe si t'es pas serein. Le plus important reste d'avoir la preuve "intuitive" (même si la formalisation ici est relativement simple normalement quand on a l'habitude)

Sinon on pourrait abréger la preuve mais ce serait évidemment moins rigoureux et + informel... Tout dépend du niveau de rigueur et de précision attendu : si c'est un résultat intermédiaire que tu prends l'initiative de prouver dans une question tu peux abréger tandis que si c'est une question de début de problème faut le faire impecc.

Pour les récurrences immédiates, mon prof disait de toujours rédiger parfaitement la 1ere récurrence (histoire de montrer que tu sais comment ça se rédige) puis d'abréger les suivantes si elles sont réellement évidentes.

merci beaucoup !

Si tu as d'autres questions ou si j'ai pas été clair hésite pas.

j'ai quelques exercices pour lesquels il est impossible de trouver des corrections que ce soit sur Google US/France. Peux tu me dire s'il sont bons ? Je peux te passer le lien des TD si tu veux

Soit z un nombre complexe. Résoudre $Im(z^3)=Re(z^3$ et placer les solutions dans le plan.

J'ai essayé de passer par l'écriture algébrique en posant $z=x+iy$. Cependant, cela revient à résoudre $x^3-3x^2y-3y^2x+y^3=0$ et il me semble qu'il est difficile de résoudre cette équation. Je suis donc passer par l'écriture algébrique et cela revient à résoudre cos(3x)=sin(3x).
Finalement, l'ensemble géométrique des solutions est constitué de 3 demi droite partant de l'origine et formant un angle respectivement de $pi/12$, $3pi/4$ et $17pi/12$. C'est juste ?

Ce que je veux dire c'est que dans mes bornes, il y a du epsilon. Or je peux prendre un epsilon quelconque, c'est ce que j'entends par "réel pas fixé". Dans la correction, il pose epsilon=1, et donc les bornes "ne dépendent" d'aucune variable. S'il pose une valeur de epsilon, bien qu'elle soit quelconque, je me demandais si c'était par pur rigueur.

Effectivement, c'est légèrement plus rigoureux.

Ce qui se passe dans ta preuve, c'est que tu as une hypothèse ( « f a pour limite l en +∞ » ) qui est de la forme « pour tout ε, bla ». Pour utiliser cette hypothèse, ce que tu dois faire, c'est instancier cette formule en choisissant un ε particulier. En l'occurrence, on se fiche de quel ε on prend, n'importe lequel va marcher. Mais pour répondre à la question qui t'est posée, tu n'en as besoin que d'un seul, par exemple, ε=1.

Si tu n'as pas envie de choisir une valeur arbitraire pour ε, il faut rédiger clairement ce que tu fais, par exemple écrire : « on se fixe un ε > 0 particulier », ou même juste « Soit ε > 0 ».
Par contre, si tu écris ta preuve en disant : « pour tout ε > 0, on a ... », tu dis des choses qui sont vraies, mais qui ne te sont pas demandées. Ça peut donner l'impression au correcteur que tu ne comprends pas tout à fait ce qui se passe dans ta preuve.

Du coup, le plus clair reste de choisir un ε arbitraire comme a fait ton prof. D'ailleurs, tu dis plus haut que ton ε n'est « pas fixé », ce qui laisse penser que tout n'est pas tout à fait clair dans ta tête.