Bonjour

J’ai un petit probleme pour le a de cet exercice :

J’ai essayé de prouver par récurrence que ce nombre existe mais ça ne semble pas fonctionner car j’obtiens une expression dépendante de n. J’ai aussi essayé de voir si la suite un est croissante et majorée mais je bloque aussi je vois pas trop par où commencer

Merci d’avance pour votre aide

Par récurrence tu vas avoir du mal, c'est certain

Voici une piste : on peut regarder comment se transmet l'inégalité d'un rang à son suivant, afin de deviner un $\sigma>0$ convenable. Par exemple, si $u_n \le \sigma \sqrt{n}$, on voudrait bien avoir :
$$ u_{n+1} = \sqrt{u_n+cn} \le \sqrt{\sigma \sqrt{n}+cn} \le \sigma\sqrt{n+1} $$
On élève alors au carré au bout de la chaîne d'inégalité (car il n'y a que du $n$, du $c$ et du $\sigma$) :
$$ \sigma\sqrt{n} + cn \le \sigma^2(n+1) $$
On peut basculer le $cn$ de l'autre côté :
$$ \sigma\sqrt{n} \le (\sigma^2-c)n + \sigma^2$$
Mais on sait aussi que pour $n\ge 1$, $\sqrt{n} \le n$. Vois-tu comment choisir $\sigma$ ?

Le 18 août 2019 à 10:51:56 [BAN]DonDoritos a écrit :
Par récurrence tu vas avoir du mal, c'est certain

Voici une piste : on peut regarder comment se transmet l'inégalité d'un rang à son suivant, afin de deviner un $\sigma>0$ convenable. Par exemple, si $u_n \le \sigma \sqrt{n}$, on voudrait bien avoir :
$$ u_{n+1} = \sqrt{u_n+cn} \le \sqrt{\sigma \sqrt{n}+cn} \le \sigma\sqrt{n+1} $$
On élève alors au carré au bout de la chaîne d'inégalité (car il n'y a que du $n$, du $c$ et du $\sigma$) :
$$ \sigma\sqrt{n} + cn \le \sigma^2(n+1) $$
On peut basculer le $cn$ de l'autre côté :
$$ \sigma\sqrt{n} \le (\sigma^2-c)n + \sigma^2$$
Mais on sait aussi que pour $n\ge 1$, $\sqrt{n} \le n$. Vois-tu comment choisir $\sigma$ ?

Merci beaucoup pour ta réponse !

En fait je comprends pas très bien ce passage : $$ u_{n+1} = \sqrt{u_n+cn} \le \sqrt{\sigma \sqrt{n}+cn} \le \sigma\sqrt{n+1} $$

Comment est ce qu’on sait que sqrt(sigma.sqrt(n) +cn) =< sigma.sqrt(n+1)

Cette inégalité je la comprends pas trop, on sait que les deux sont plus grandes que Un+1 mais l’inegalite entre les deux je vois pas

Merci !

On veut un $\sigma$ qui vérifie cette inégalité car on n'a aucune autre information sur la suite, hormis l'inégalité en vue $u_n \le \sigma \sqrt{n}$. Avec un peu de chance (et on en aura) on trouvera un tel $\sigma$. Une fois que tu tiens un bon candidat, une petite récurrence suffit à établir le résultat pour tout n (grâce à l'inégalité que l'on s'est imposée).

C'est une analyse-synthèse pour l'hérédité si tu préfères. On part de ce que l'on veut démontrer et on imagine ce qu'il faut pour y parvenir. Ici intercaler des inégalités, trouver des conditions suffisantes sur $\sigma$, jusqu'à trouver ce que l'on cherchait.