Bonjour
je bloque sur la majoration d’une suite
Je dois montrer que Un=somme (de k=1 à n) de 1/n+k est majorée. J’ai pensé la majoré par la somme des 1/k mais je ne peux pas ensuite la calculer.
Merci

La somme des 1/k diverge vers l'infini de toutes façons.
Tu peux majorer plus facilement, 1/(n+k) <= 1/n
Donc somme des 1/(n+k) <= somme des 1/n = n/n = 1.

Si tu veux une majoration plus fine, tu majores 1/(n+k) par 1/(n+1).

Merci si je majore par 1/n+1 il me reste n/(n+1) ?
Et pour trouver la limite de Un j’ai montrer 1/(n+1)<= ln(n+1)-ln(n)<=1/n et je dois montrer qu’elle tend vers ln(2)

J’ai dit que somme 1/n+k <= somme ln(n+1) - ln(n) = ln(n+1) car somme télescopique mais après je vois pas trop

Je vois pas vraiment ce que tu essaies de faire, en tout cas voilà une façon de résoudre la question :
On remarque que un = H2n - Hn où (Hn) est la série harmonique
On sait que Hn - ln(n) converge vers gamma la constante d'Euler-Mascheroni
Ainsi, Hn - ln(n) -> gamma
et H2n - ln(2n) -> gamma
donc ln(n) - Hn -> -gamma
H2n - Hn + ln(n) - ln(2n) -> 0
On sait que H2n - Hn converge vers une limite l
Et on a ln(n) - ln(2n) -> - ln(2)
Donc, l - ln(2) = 0, l = ln(2)

Merci pour ta réponse mais je suis pas bien ton raisonnement. Je vois pas le lien avec la question précédente et le fait que je dois le déduire de cette relation 1/(n+1)<= ln(n+1)-ln(n)<=1/n

T'as jamais parlé de déduire T'as juste dit "j'ai montré ça"

Envoie ton énoncé exact complet, tu m'as perdu

Je suis désolé
Je peux pas maintenant mais l’énoncé exact c’est :

Montrer que 1/(n+1)<= ln(n+1)-ln(n)<=1/n (Ça je l’ai fait)
En déduire que lim Un= ln(2)

Le 19 août 2019 à 20:23:45 Luigi542 a écrit :
Je suis désolé
Je peux pas maintenant mais l’énoncé exact c’est :

Montrer que 1/(n+1)<= ln(n+1)-ln(n)<=1/n (Ça je l’ai fait)
En déduire que lim Un= ln(2)

Encadre (le plus finement possible) 1/(n+k) entre deux différences de log, puis tu sommes.

Ah, bah tu sommes pour faire apparaître un et tu encadres un puis tu passes à la limite

Donc somme 1/n+k <= somme ln(n+1) - ln(n) = ln(n+1) ?

Non, pour n assez grand
1/(n+1) <= ln(n+1)-ln(n) <= 1/n
Donc ln(n+1) - ln(n) <= 1/n <= ln(n) - ln(n-1)
Donc ln(2n+1) - ln(n+1) <= un <= ln(2n) - ln(n) en sommant de n+1 à 2n
Tu passes à la limite et tu obtiens ln(2) <= lim un <= ln(2)

Un est une somme de Riemann qui tend vers l'intégrale de 0 à 1 de 1/(1+x) qui vaut ln(2)

Sinon si tu as pas le droit (niveau terminale?), pour avoir une belle inégalité il suffit d'encadrer entre deux intégrales et de sommer les inégalités

Le 19 août 2019 à 21:30:19 Nathyll a écrit :
Non, pour n assez grand
1/(n+1) <= ln(n+1)-ln(n) <= 1/n
Donc ln(n+1) - ln(n) <= 1/n <= ln(n) - ln(n-1)
Donc ln(2n+1) - ln(n+1) <= un <= ln(2n) - ln(n)en sommant de n+1 à 2n
Tu passes à la limite et tu obtiens ln(2) <= lim un <= ln(2)

Ok je vois mais comment es-tu passé de ln(n+1) - ln(n) <= 1/n <= ln(n) - ln(n-1)
à ln(2n+1) - ln(n+1) <= un <= ln(2n) - ln(n)

Car Un c'est la somme des 1/(n+k) donc avec ton encadrement en 1/n il faut sommer de n+1 à 2n

Ah ok mais la variable dans la somme c’est k ou n du coup je suis perdu ?

C'est k, tu sommes l'inégalité ln(k+1)-ln(k)<=1/k<=ln(k)-ln(k-1) entre k=n+1 et k=2n.

Reflechis...