Bonjour, j'ai trouvé certains exercices sur internet mais je ne trouve absolument pas leur correction, ni sur le topic concerné, ni sur internet
Pourriez vous m'indiquer si mes réponses sont justes et sinon si la rédaction convient

Exercice 1 :$\theta$ un élément de $-\pi;\pi[-\left \{ -\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2} \right \}$ et $u_n=\sum_{k=0}^{n}\frac{1}{2cos(k\theta)} $. Pour quelles valeurs de $\theta$ la suite $(u_n)_{n\in \mathbb{N}}$ converge-t-elle ?

Une série converge si et seulement son terme général tend vers 0. On pose $U_k=\frac{1}{2cos(k\theta)}$ On sait que la suite cos (n) n'admet pas de limite, il en va de même pour la suite cos(ktheta) même si theta vaut 0 donc la suite $\frac{1}{2cos(k\theta)}$ n'admet pas de limite.
Mes justifications me paraissent un peu justes et dans ce genre d'exercice est-il nécessaire de redémontrer la divergence de certaines suites, cos n, sin n par exemple ?

Exercice 2 :Discuter de la convergence d'une suite $(u_{n})$ vérifiant:
$u_{0} >0$ et $\forall n\in \mathbb{N}$ , $0<u_{n+1}\leq 2 - \frac {1}{u_{n}}$"

On a que le suite (U_n) est toujours positive, je soustrais par U_n ce qui me donne que U(n+1)-U_n est majorée par l'opposé d'un carré (en l'occurence le carré de sqrt(Un)-1/sqrt(Un), donc décroissante. Elle est minorée et converge donc. Ce qui me déstabilise c'est qu'il dise discuter, comme s'il y avait des disjonctions de cas à faire

Oulaaaa je me suis arrêté à "Une série converge si et seulement son terme général tend vers 0.".

Si tu penses réellement ça c'est que tu n'as rien compris aux séries

Une série converge si et seulement son terme général tend vers 0.

Oulaaaaaaaa

Ce que tu peux dire en revanche, c'est si la série converge, alors son terme général se rapproche de zéro. En l'occurrence, ta série ne peut pas converger car $\vert \cos n\theta\vert \le 1$ et donc $\left\vert \frac{1}{2\cos n\theta}\right\vert \ge \frac{1}{2}$. Cela empêche le terme général de tendre vers zéro.

Je ne vois pas comment tu majores ta différence par l'opposé du carré de machin truc --- explique.

Déjà ta suite a plus un comportement géométrique qu'arithmétique, donc faire la différence pour étudier la monotonie n'est pas un bon pari à mon goût. Cependant, le quotient lui peut être plus intéressant. Puisque l'hypothèse fournit
$$ \frac{u_{n+1}}{u_n} \le \frac{2}{u_n} - \frac{1}{u_n^2} = \frac{2u_n - 1}{u_n^2} $$
une brève étude des variations de $\frac{2x-1}{x^2}$ montre que le maximum est atteint en $x=1$ et vaut $1$, ce qui donne directement (puisque tout est positif)
$$ u_{n+1} \le u_n $$
Pour le coup je ne vois pas, moi non plus, l'intérêt de "discuter" de la convergence, mais bon.

Pour l'exercice 1, c'est nickel merci

Pour l'exercice 2, on a que la suite (U_n) est strictement positive.
$U_{n+1}-U_n< 2-\frac{1}{U_n}-U_n=-(\sqrt{U_n}-\frac{1}{\sqrt{U_n}})^2\leq 0$

On te dit de discuter la convergence parce que ça converge

De l'hypothèse de départ t'as $0<u_{n+1}<2$ donc $u_n$ est bornée. L'ensemble des valeurs d'adhérence de $u_n$ est non vide, fermé et borné, donc admet un maximum et un minimum.

En considérant $m$ la plus petite valeur d'adhérence et $u_{\varphi(n)}$ une extraction associée, on a aussi une extraction $\psi$ telle que $u_{\varphi(\psi(n))+1}$ converge vers un certain $x$. Par définition de $m$ on a $x\geq m$ et en passant à la limite dans l'inégalité qui définit la suite on a $x\leq 2-\frac 1m$ donc $m\leq 2-\frac 1m$ et $m=1$.

En écrivant $u_{n}\leq 2-\frac 1{u_{n-1}}$ et en considérant la plus grande valeur d'adhérence $M$ on montre de même que $M=1$ donc la suite a $1$ comme unique valeur d'adhérence, donc elle converge vers $1$.

Sans passer par les valeurs d'adhérences, on peut aussi noter que $u_n \ge \frac{1}{2}$ . On peut ainsi substituer sans crainte $u_n$ et $u_{n+1}$ par la limite $u$ dans l'inégalité (opérations élémentaires sur le limites, sachant la suite décroissante et minorée, donc déjà convergente).

Ce qui fournit
$$ u \le 2 - \frac{1}{u} \:\:\text{ i.e.} \:\: \frac{(u-1)^2}{u} \le 0 $$
Par positivité de $u$ on a $ (u-1)^2 \le 0$, pas le choix $u=1$.

Merci beaucoup à vous deux pour la rédaction détaillée

Le 19 août 2019 à 17:00:14 [BAN]DonDoritos a écrit :
Sans passer par les valeurs d'adhérences, on peut aussi noter que $u_n \ge \frac{1}{2}$ . On peut ainsi substituer sans crainte $u_n$ et $u_{n+1}$ par la limite $u$ dans l'inégalité (opérations élémentaires sur le limites, sachant la suite décroissante et minorée, donc déjà convergente).

Ce qui fournit
$$ u \le 2 - \frac{1}{u} \:\:\text{ i.e.} \:\: \frac{(u-1)^2}{u} \le 0 $$
Par positivité de $u$ on a $ (u-1)^2 \le 0$, pas le choix $u=1$.

Oui, le seul problème c'est que j'avais pas encore la convergence