Bonsoir

J'ai ce petit exercice :

J'ai tenté une résolution pour les points 1 et 2 :

1)

2)

J'ai séparé l'intégrale impropre en deux intégrales qui ne possède chacune qu'un seul cas problématique à traiter ( 0 et + infini )
Je ne sais pas si la façon dont je l'ai fait pour le cas t € [0,1] est correcte

Pour prouver la continuité ( haut de la deuxième image ) est-ce que la méthode employée est correcte ?

Et enfin au point 2 pour calculer lim f(x) pour x -> +inf, j'ai supposé que je pouvais permuter limite et intégrale car f est continue mais est-ce correct encore une fois ?

Merci d'avance pour votre aide,
Bonne soirée

Pour la continuité, il y a un théorème qui consiste à dire que à t fixé, x-> f(x,t) est continue, que à x fixé, t->f(x,t) est cpm et intégrable et que il existe g pour tout (x,t) lf(x,t)l<g(x,t) avec g positif intégrable et cpm.
Alors tu as la continuité.

Pour le point 2 tu peux pas échanger limite et intégrale comme ça, sur un intervalle borné tu peux utiliser la convergence uniforme, sinon tu peux revenir au théorème de convergence dominé en posant une suite xn telle que xn->+inf.

Le 08 juillet 2019 à 20:47:15 Xsansrienbranle a écrit :
Pour la continuité, il y a un théorème qui consiste à dire que à t fixé, x-> f(x,t) est continue, que à x fixé, t->f(x,t) est cpm et intégrable et que il existe g pour tout (x,t) lf(x,t)l<g(x,t) avec g positif intégrable et cpm.
Alors tu as la continuité.

Pour le point 2 tu peux pas échanger limite et intégrale comme ça, sur un intervalle borné tu peux utiliser la convergence uniforme, sinon tu peux revenir au théorème de convergence dominé en posant une suite xn telle que xn->+inf.

Super merci beaucoup pour ton aide

Pour la continuité c'est correct mais pour le point 2 vu que le domaine est non borné je dois, comme tu dis, utiliser le théorème de convergence dominée mais je vois vraiment pas comment l'appliquer

Sinon j'ai continué l'exo, j'ai réussi à faire le point 3 mais pour le point 4 je bloque, je calcule la solution générale de l'équation homogène puis une solution particulière mais je n'arrive pas à en déduire la valeur de I dans le 5 ( je sais que ça fait sqrt(pi)/2 ), si quelqu'un pourrait m'aider...

Merci d'avance !

En posant ta suite xn, tu peux regarder vers quelle fonction elle converge sur ]0,+inf[. Et ensuite tu peux utiliser la même fonction que pour la continuité et donc tu as l'inversion limite intégrale

Le 08 juillet 2019 à 21:16:14 Xsansrienbranle a écrit :
En posant ta suite xn, tu peux regarder vers quelle fonction elle converge sur ]0,+inf[. Et ensuite tu peux utiliser la même fonction que pour la continuité et donc tu as l'inversion limite intégrale

Merci pour ton aide

Elle converge vers 1/(sqrt(t).(1+t))

Mais je suis pas certain de comprendre pourquoi on fait appel à des suites

Alors, tu utilises une suite pour pouvoir appliquer le théorème de convergence dominé (qui est un critère sur n), ensuite quand tu fais tendre x vers l'infini (pour t non nul) tu obtiens la fonction nulle. Donc tu obtiens bien une limite nulle pour f(x) en l'infini.

Pour la question 5, montre moi ton résultat de la question 4 en fonction de ça je t'aiderai pour la suite

Le 08 juillet 2019 à 21:39:33 Xsansrienbranle a écrit :
Alors, tu utilises une suite pour pouvoir appliquer le théorème de convergence dominé (qui est un critère sur n), ensuite quand tu fais tendre x vers l'infini (pour t non nul) tu obtiens la fonction nulle. Donc tu obtiens bien une limite nulle pour f(x) en l'infini.

Pour la question 5, montre moi ton résultat de la question 4 en fonction de ça je t'aiderai pour la suite

Ok je vois merci beaucoup, du coup c’est un peu par « chance » que je suis tombé sur 0 dans ma résolution ?

Voici ce que j’ai pour le 4 :

Je me doute qu’il y a un truc qui ne va pas mais je vois pas trop quoi

Merci d’avance !

Le seul problème c'est que tu devrais mettre des bornes à ton intégrale, ensuite tu dis que f(0)=pi, ça te donne une condition sur la constante puis tu utilises f(x)->0 en +inf, avec ses deux équations tu dois pouvoir déterminer I

Remarque, tu feras attention mais quand tu procèdes comme tu l'as fait (Abaissement de l'ordre) la solution c'est vect(y) avec y=phi*z et phi une solution particulière. Le seul truc c'est que ici z est sous forme intégrale donc à priori tu peux prendre l'intégrale de 0 à x plus une constante (z(x)-z(0)=intégrale de 0 à x)

Le 08 juillet 2019 à 23:31:34 Xsansrienbranle a écrit :
Remarque, tu feras attention mais quand tu procèdes comme tu l'as fait (Abaissement de l'ordre) la solution c'est vect(y) avec y=phi*z et phi une solution particulière. Le seul truc c'est que ici z est sous forme intégrale donc à priori tu peux prendre l'intégrale de 0 à x plus une constante (z(x)-z(0)=intégrale de 0 à x)

Merci pour ta réponse

Ok je vois mais du coup je vais me retrouver avec deux constantes non ? Une de la solution de l’équation homogène et une provenant de l’integrale dans la solution particulière
Et vu que c’est une EDO d’ordre 1 j’aurai une infinité de solution du coup ?

Merci d’avance !

tu as une équation différentielle d'ordre 1 à coefficients constants donc l'ensemble des solutions c'est un sev de dimension 1. La constante associé à la primitive tu peux la determiner en utilisant ce que tu sais sur f.

Le 09 juillet 2019 à 09:33:41 Xsansrienbranle a écrit :
tu as une équation différentielle d'ordre 1 à coefficients constants donc l'ensemble des solutions c'est un sev de dimension 1. La constante associé à la primitive tu peux la determiner en utilisant ce que tu sais sur f.

Merci beaucoup, en le faisant par calcul je tombe bien sur sqrt(pi)/2

Je pensais qu’avoir deux constantes pour une EDO du 1er ordre était problématique

Merci beaucoup !

C'est pas problématique car en réalité la constante liée à l'intégration de z est parfaitement définie par le z(x)-z(0) elle est pas quelconque