Dans Mn(C) je cherche à ré"soudre exp(A)=In d'inconnue A et j'aimerais que vous me disiez si mon raisonnement est ok

Ici A va être diagonalisable, tu peux essayer de montrer ça.

Tu peux aussi conclure directement : tu a trouvé un polynôme annulateur pour A mais tu en connais un autre puisqu'elle est nilpotente. De plus t'es sur C, ya pas que 0 qui est envoyé sur 1 par exp

Ah ouai my bad j'ai été trop vite bon bah je vais réfléchir

Vu que j'ai pas été attentif j'ai plus la nilpotence (les valeurs propres peuvent être les i2kpi

il semblerait que les solutions soient les matrices diagonalisables à spectre inclus dans {i.2kpi/k€Z} (on le montre dans le cas diagonalisable et sinon on s'y ramène) mais la correction donnée par mon prof redémontre la décomposition de Jordan qui est hors programme pour montrer qu'en fait si A convient alors A est diagonalisable donc je suis pas très satisfait

• décomposition de Dunford pas Jordan

T'as pas besoin de sortir la décomposition de Jordansi comme vdd l'a dit tu réussis à montrer que A est diagonalisable, comme elle est nilpotente ça prouve que A est nécessairement nul.

Sinon, tu viens de montrer qu'elle nilpotente. Tu peux montrer algébriquement que nécessairement A est nulle.
A est nilpotente, donc quitte à considérer une matrice semblable, on peut supposer que A est triangulaire supérieure avec des 0 sur la diagonales.

Que vaut alors exp(A) en utilisant la définition ?
Que dire des A^k pour k appartenant à N ?
Tu pourrais pas montrer par l'absurde que nécessairement tous les coefficients de A sont nuls ?

Le 26 juin 2019 à 18:27:05 Bahar a écrit :
T'as pas besoin de sortir la décomposition de Jordansi comme vdd l'a dit tu réussis à montrer que A est diagonalisable, comme elle est nilpotente ça prouve que A est nécessairement nul.

Sinon, tu viens de montrer qu'elle nilpotente. Tu peux montrer algébriquement que nécessairement A est nulle.
A est nilpotente, donc quitte à considérer une matrice semblable, on peut supposer que A est triangulaire supérieure avec des 0 sur la diagonales.

Que vaut alors exp(A) en utilisant la définition ?
Que dire des A^k pour k appartenant à N ?
Tu pourrais pas montrer par l'absurde que nécessairement tous les coefficients de A sont nuls ?

Justement mon prof utilise Dunford pour montrer que si A est solution alors A est diagonalisable J'ai trouvé toutes les solutions diagonalisables (les matrices de spectre dans i2piZ) et maintenant j'aimerais montrer qu'une solution est forcément diagonalisable (ce qui conclurait l'exo) sans utiliser de résultat HP ...

Conernant les matrices nilpotentes, au final, ça me sert à rien vu que je n'ai pas prouvé qu'elle était nilpotente si les coefficients étaient complexes justement Cependant je sais que les seules solutions nilpotentes sont nulles, car dans ce cas j'ai exhibé un polynome annulateur ( somme des A^k/k! pour k allant de 1 à n ) et que son polynôme minimal est de la forme X^k (par Cayley Hamilton) et il divise "somme des A^k/k! pour k allant de 1 à n " puisqu'il est annulateur donc nécessairement k = 1 et donc X est annulateur et donc la matrice est nulle... mais ça me sert à rien encore une fois

T'avais raison je suis allé un peu vite aussi, j'ai pas fait gaffe au fait qu'on soit en complexes
Y a pas la nilpotence en général

Pourquoi tu veux pas utiliser Dunford ? C'est idéal ici C'est pas un gros résultat hors programme étant donné que tu peux le redémontrer en deux lignes

Du coup on sait bien ce qu'il se passe pour les matrices nilpotentes et diagonalisables ce qui en soit invite bien à utiliser Dunford mais c'est clairement HP donc je trouve ça abusé de le redémontrer pour l'exo quoi (c'est tombé aux mines y'a 1 ou 2 jours donc si c'est ça... clairement de la selection sale sur du HP )

Je viens de me rendre compte que mon titre s'est fait bouffé y'a juste résoudre

Je suis intéressé par la preuve de Dunford en 2 lignes

Le 26 juin 2019 à 23:28:20 Bahar a écrit :
Je suis intéressé par la preuve de Dunford en 2 lignes

E = somme des C_i où C_i = ker(u-lambda_i*id)^n_i. On définit d par ses restrictions aux Ci : d_i = lambda_i*id (polynôme en u d'après le lemme des noyaux). Ensuite on prend n = u-d nilpotent qui est aussi un polynôme en u donc qui commute avec d.

On peut montrer l'unicité rapidement aussi mais on en a pas besoin ici.

Ah ouais, c'est la preuve classique mais à l'arrache quoi
Ça prend un certain temps à bien justifier quand même

C'est parfaitement rigoureux tel que je l'ai écrit

Je suis d'accord avec la preuve, mais pour moi, dans un concours, il faudrait la justifier un peu plus
Genre dire comme ça que u-d est nilpotente c'est un peu moyen je trouve, même si c'est simple à justifier
Et "d'après le lemme des noyaux" aussi, faut bien préciser qu'on parle de projection, parce que dans la preuve tu ne parles que de restriction, sauf erreur