Bonjour,

Est-ce que lorsqu'on doit donner une base orthogonale d'une forme bilinéaire b, ça revient à donner une base orthogonale de la forme quadratique associée à b ?

Merci

Oui c'est la même chose.

Merci bien !

En fait je rencontre un problème. En gros j'ai une forme quadratique décomposée en carré de formes linéairement indépendantes qui est : q(x,y,z,t) = (x+y)^2 - (x+z)^2 - (y+t)^2 + (z+t)^2.

On me demande une base orthogonale sauf que lorsque je veux résoudre :

x+y=1
x+z=0
y+t=0
z+t=0

J'ai pas de solution. Du coup faut faire comment dans ce cas ? Merci

Quand tu as une forme quadratique $Q$ définie (rang max) comme ici, on effectue une décomposition de Gauss
$$ Q = \alpha _1\ell_1^2 + \cdots + \alpha_n \ell_n^2 $$
En identifiant $Q$ et les $\ell_i$ avec leurs matrices dans les bases canoniques, tu as
$$ Q = LD L^\mathrm T $$
avec les matrices $L$ et $D$ définies comme suit$$L = \begin{pmatrix}\ell_1^\mathrm T&\cdots&\ell_n^\mathrm T\end{pmatrix} \:\:\:\text{ et }\:\:\:D = \begin{pmatrix}\alpha_ 1&\\&\ddots\\&&\alpha_n\end{pmatrix}$$

La matrice $L$ est inversible, puis de $Q = LDL^\mathrm T$ on en tire
$$ D = V^\mathrm TQ V \:\:\text{ avec }\:\: V = (L^{-1})^\mathrm T $$
Ainsi $V$ est une famille de vecteurs orthogonaux pour $Q$, de même rang que $L$, tada !

En fait je rectifie.
Ma décomposition en carrés est la suivante :

q = 1/2 * (x-z-t)^2 - 1/2*(y+z-t)^2.

Je veux une base orthogonale de q.

Donc je résous :

x-z-t=1
y+z-t=0

Je peux prendre (1,0,0,0)

Ensuite je résous :

x-z-t=0
y+z-t=1

Je peux prendre (0,1,0,0)

Sauf que maintenant comment je fais pour compléter avec deux autres vecteurs ?
Est-ce qu'il aurait fallu que dans les deux cas je prenne une famille de 2 vecteurs linéairement indépendants et orthogonaux ?

Il me semble que dans le cas dégénéré, tu peux compléter de manière quelconque puis appliquer Gram-Schmidt sans diviser

Oublie ce que j'ai dit.

En reprenant ta décomposition ta matrice associée à q dans la base canonique est

$$ Q = \frac{1}{2}\begin{pmatrix}1&0&-1&-1\\0&-1&-1&1\\
-1&-1&0&2\\
-1&1&2&0\end{pmatrix} $$

(sauf erreur) et tu as deux formes linéaires indépendantes $\ell_1 = \begin{pmatrix}1&0&-1&-1\end{pmatrix}$ et $\ell_2 = \begin{pmatrix}0&1&1&-1\end{pmatrix}$ avec coeff respectifs 1/2 et -1/2. Comme toute autre forme indépendante qui peut apparaître dans une décomposition type Gauss (combinaison linéaire de carrés de formes linéaires) doit être associée à un coeff nul, on complète arbitrairement $\ell_1,\ell_2$ en une base $\ell_1,\ell_2,\ell_3,\ell_4$ du dual et on écrit (par exemple)

$$ Q = LDL^\mathrm T $$
avec $$ L = \begin{pmatrix}\ell_1\\ \ell_2\\\ell_3\\\ell_4\end{pmatrix}^\mathrm T = \begin{pmatrix}1&0&0&0\\
0&1&0&0\\
-1&1&1&0\\
-1&-1&0&1\end{pmatrix} \:\:\text{ et }\:\: D = \begin{pmatrix}\tfrac{1}{2}\\
&-\tfrac{1}{2}\\&&0\\&&&0 \end{pmatrix}$$

Puis la famille $V = (L^{-1})^\mathrm T$ convient

..enfin les colonnes de V conviennent

J'avais pensé aussi à un truc comme ça.
Donc par exemple pour le 1er cas, j'ai prix b_1 = (1,0,0,0) et b_2 = (3,0,1,1).

Je pose
e_1 = b_1 = (1,0,0,0)
e_2 = b_2 - <b_2 | e_1>e_1 = (0,0,1,1)

Et je fais pareil pour l'autre partie. C'est bien ça ?

Non désolé je me suis gouré, Gram-Schmidt ne marche pas dans le cas dégénéré ^^

Ouh là je suis un peu perdu là

Déjà je ne comprends pas pourquoi les vecteurs de ta base fonctionnent alors qu'ils ne sont même pas orthogonaux entre eux

Si normalement les colonnes de V sont orthogonales
Vérifie https://www.wolframalpha.com/input/?i=%7B%7B1,0,-1,-1%7D,%7B0,1,1,-1%7D,%7B0,0,1,0%7D,%7B0,0,0,1%7D%7D%5E-1

Ah oui d'accord.

Mais je me pose quand même certaines questions.

Déjà tu prends l_1 et l_2 au début, je suis d'accord qu'elles sont linéairement indépendantes, mais pourquoi ne pas prendre l_3 et l_4 ?

On complète en base duale pour inverser L Une autre façon de le voir, c'est que la décomposition de Gauss est une procédure qui donne une factorisation $Q=LDL^\mathrm T$, une espèce de diagonalisation pour les formes quadratiques. Les deux formes que tu as données (qui apparaissent dans les deux premières colonnes de L) ont pour "sorte de valeurs propres" 1/2 et -1/2. Je renseigne ça dans mes matrices et comme c'est de rang 2, les autres coeffs de D sont nuls. Mais je suis libre de mettre ce que je veux dans les autres colonnes de L, car de tout façon ça atterrira sur 0. Et afin d'inverser on forme une base duale et la famille qui convient est la base antéduale

Le 23 juin 2019 à 18:33:09 DonDoritos4 a écrit :
On complète en base duale pour inverser L Une autre façon de le voir, c'est que la décomposition de Gauss est une procédure qui donne une factorisation $Q=LDL^\mathrm T$, une espèce de diagonalisation pour les formes quadratiques. Les deux formes que tu as données (qui apparaissent dans les deux premières colonnes de L) ont pour "sorte de valeurs propres" 1/2 et -1/2. Je renseigne ça dans mes matrices et comme c'est de rang 2, les autres coeffs de D sont nuls. Mais je suis libre de mettre ce que je veux dans les autres colonnes de L, car de tout façon ça atterrira sur 0. Et afin d'inverser on forme une base duale et la famille qui convient est la base antéduale

D'accord merci une fois de plus pour ton aide, je crois à peu près voir le truc mais je t'avoue que je suis dans le flou
Par contre tu es sûr qu'il n'y a pas de méthode plus "immédiate" ? J'ai jamais vu ça en cours

Une autre méthode : calculer les vecteurs isotropes pour former une base de Ker Q

Le 23 juin 2019 à 18:38:39 DonDoritos4 a écrit :
Une autre méthode : calculer les vecteurs isotropes pour former une base de Ker Q

Ah, voilà qui me parle un peu plus

Mais finalement on en revient au même point, puisqu'il faut au préalable avoir calculé la base antéduale

Oui tu trouves tes deux vecteurs orthogonaux indépendants (hors du noyau), tu complètes en une base duale puis tu détermines la base antéduale. Je suis pas chaud pour calculer Ker Q à la main... c'est le meilleur moyen de se planter.

Bon je pense avoir saisi l'idée, je vais retaffer ça, merci l'ami

Je profite du topic pour te reposer une question d'algèbre, rien à voir avec les formes quadratiques
On considère la matrice suivante :

$$\begin{pmatrix}-2&-1&1&2\\
1&-4&1&2\\
0&0&-5&4\\
0&0&-1&-1\end{pmatrix}$$

Comment on détermine un polynôme $Q$ de IR[X] de plus petit dégré possible tel que $A^{-1} = Q(A)$ ?