Pour Si D est une matrice diagonale de taille n alors les coefficients sur la diagonale de la matrice D^n sont ceux de la matrice D mais élevés à la puissance n.

Je l'ai montré par récurrence mais que dans le cas d'une matrice 3,3 par exemple. Il est clair que c'est valable pour toutes les matrices carrées d'ordre n mais je me demandais :
-Comment montrer que c'est valable pour tout les ordres n, et formellement.
-Existe-t'-il des récurrences qui portent sur les ordres d'une matrice carrée ? (On suppose c'est vrai pour une matrice d'ordre n, montrons que c'est aussi vrai pour une matrice carrée d'ordre n+1).
-Existe-t'-il des cas où des matrices carrés d'ordre p avec p un ensemble d'entier, vérifie certaines propriétés, qui ne sont plus vraies pour des matrices carrées d'ordre n avec n un entier n'appartenant pas à l'ensemble P ?

Merci,

Tu prends une matrice D de taille quelconque et tu fais une récurrence sur l'exposant

Si tu n'arrives pas à étendre immédiatement ta démonstration pour les matrices de tailles 3 aux matrices de tailles quelconque je suppose que c'est parce que tu as écrit les produits matriciels en calculant les 9 coefficients, mais en écrivant plutôt que le coefficient (ij) de AB est la somme sur k des AikBkj, tu dois pouvoir tous les calculer en ne distinguant que 2 cas peu importe la taille de D

Pour ce qui est de ta deuxième question, oui ça existe évidemment, par exemple pour calculer le déterminant d'une matrice tridiagonale dont les coefficients sont égaux sur chaque diagonale, une façon de calculer ce déterminant est de faire une récurrence sur la taille de la matrice.