Salut tout le monde,
Je dois faire la décomposition de Jordan d'une matrice, sauf que ma matrice de passage n'est pas inversible et je vois pas à quel moment j'ai merdé.
On considère la matrice suivante : http://sketchtoy.com/68964260

Son polynôme caractéristique c'est : χ(X) = (X+3)^4.
Son polynôme minimal est µ(X) = (X+3)^3

Sa matrice de Jordan est la suivante : http://sketchtoy.com/68964261

C'est ensuite qu'il y a une erreur.

J'ai pris p_1 et p_4 dans ker(A+3I)^3 \ ker(A+3I)²
donc j'ai pris p_1 = (0,0,1,0) et p_4 = (0,0,0,1)
et j'ai posé p3 = (A+3I)*p_4 = (2,2,4,2) et P2 = (A+3I)*p3 = (8,8,0,0)

Les calculs sont bons, c'est juste que que j'ai pris un vecteur là où il ne fallait pas et je voudrais comprendre où et pourquoi.

En vous remerciant d'avance

Tu es sûr de tes calculs ? J'ai tapé ta matrice A dans un calculateur en ligne il me donne pas le même polynôme caractéristique.

J'ai rectifié, j'ai oublié un "-" dans la matrice
http://sketchtoy.com/68964331

A priori ker(A+3I)^2 est de dimension 3 donc tu peux pas prendre 2 vecteurs libres dans ker(A+3I)^3 \ ker(A+3I)^2.
Tu prends un vecteur e1 dans ker(A+3I)^3 \ ker(A+3I)^2 et tu poses e2 = (A+3I)(e1) et e3 = (A+3I)(e2).

e3 est alors dans ker(A+3I), il te reste plus qu'à prendre un vecteur e4 dans ker(A+3I)\vect(e3).

Merci pour ton aide du coup ça marche maintenant.
Mais je voudrais savoir exactement pourquoi

A priori ker(A+3I)^2 est de dimension 3 donc tu peux pas prendre 2 vecteurs libres dans ker(A+3I)^3 \ ker(A+3I)^2.

Quand je dis "tu peux pas" c'est pas que c'est pas possible de trouver 2 vecteurs libres, c'est que c'est pas comme ça qu'on construit une base pour mettre sous forme de Jordan
Si tu as un doute sur comment la méthode marche, tu peux dessiner un diagramme de Young pour comprendre où on cherche chaque vecteur.