Bonjour

Je n'arrive pas à résoudre l'exercice suivant si quelqu'un a une idée svp

(an) et (bn) sont deux suites réelles def ainsi

A(n+1) = a(n) + b(n) /(n(n+1))

B(n+1)= b(n) - a(n) / (n(n+1))

Et je dois montrer qu'elles convergent

L'indication est qu'on peut former la suite an+ibn

Je suppose ainsi que je dois montrer que cette suite complexe convergent et que donc sa partie réelle et sa partie imaginaire convergent mais je n'y arrive pas

Merci d'avance

(j'ai supposé que c'était (an + bn) / (n(n+1)) et pas an + (bn / (n(n+1))))

Bon, intuitivement le problème de cet énoncé c'est que t'as deux suites mélangées ce qui est pas génial pour travailler dessus, ce qu'on peut se dire c'est qu'on va poser (zn) = (an+i bn) (pour avoir qu'une seule suite) et étudier la convergence de (zn) puisqu'on sait qu'elle est équivalente à la convergence de (an) et (bn), du coup comme on a des définitions par récurrence l'idée ça va être de calculer zn+1, y faire apparaître zn sans que les suites (an) et (bn) n'apparaissent :

zn+1 = an+1 + i bn+1
= (an + bn + i(bn - an)) / (n(n+1))
= (an + i bn + bn - i an) / (n(n+1))
= (zn - i zn) / (n(n+1))
= zn (1 - i) / (n(n+1))
à partir de là, on voit une sorte de forme géométrique (c'en est pas une) où à chaque étape notre zn est tourné par arg(1-i) et sont module est multiplié par |1-i| / (n(n+1))
on voit bien que le ce coef multiplicatif va tendre vers 0 et on devine que zn va tendre vers 0
Du coup pour ça on passe au module
|zn+1| = |zn| |1-i| / (n(n+1))
si |zn| = 0, on a |zn+1| = 0 <= |zn|
sinon on a |zn+1| / |zn| <= |1-i| / (n(n+1)) -> 0
donc apcr la suite (|zn|) est décroissante, or elle est réelle et minorée par 0 elle admet donc une limite l positive
donc l = lim zn+1 li = lim |zn| |1-i| / (n(n+1)) = 0 en tant que produit d'une suite qui cvg vers l et une suite cvg vers 0
donc l = 0
donc (zn) converge nécessairement vers 0

ainsi, (an) et (bn) convergent vers 0

merci de ta réponse mais c'était bien an + (bn / (n(n+1)))) (j'ai du mettre trop de parenthèses ce qui a entrainé la confusion)

donc jpense qu'à partir de cette partie là
"
|zn+1| = |zn| |1-i| / (n(n+1))
si |zn| = 0, on a |zn+1| = 0 <= |zn|
sinon on a |zn+1| / |zn| <= |1-i| / (n(n+1)) -> 0
"

donc jpense que ça pose problème car le rapport ne tend pas vers 0 mais vers 1 (en remplaçant dans les calculs précédents par la formule exacte) et je crois pas qu'on puisse en déduire un résultat

merci de ta réponse et de ton temps

Ça semblait plus probable que ça soit l'autre version, zut

Bon du coup ça donne
zn+1 = an + i bn + (bn - i an) / (n(n+1))
= zn - i zn / (n(n+1))
= zn (1 - i/(n(n+1)))

avant toute chose on remarque que si z1 = 0 alors la suite est constante et converge, autrement elle n'est jamais nulle, dans le reste de la démo on suppose donc la suite jamais nulle

là en effet le module tend pas vers 0 par contre cette fois on voit que la partie de droite va tendre très rapidement (quadratiquement) (c'est important que ça soit rapide, avec du 1/ln ça divergerait) vers 1, sauf qu'on sait que arg(1) = 0 et donc on s'attend à ce que plus n deviendra grand, moins les points tourneront autour de l'origine, et plus le module se stabilisera (puisque +0 et *1), or on sait que si l'argument et le module convergent, alors le complexe converge

on commence par montrer la convergence du module, bon là c'est moins simple que tout à l'heure, le mieux ça reste d'exprimer explicitement |zn| en fonction de n, pour ça on voit clairement que

|zn+1|² = |z1|² produit(k=1 à n) 1 + 1/(n(n+1))²
ce produit infini converge, puisque :
produit des 1 + 1/(n(n+1))² = exp(somme des ln(1 + 1/(n(n+1))²))
et ln(1 + 1/(n(n+1))²) ~ 1/n⁴ et la série des 1/n⁴ converge bien
on en conclut que |zn| cvg

on montre maintenant la convergence de l'argument, on fera attention puisque les formules d'addition d'arguments ne fonctionnent que modulo 2pi, en particulier on peut pas utiliser d'inégalités, cette fois-ci on a
arg(zn+1) = arg(z1) + somme(k=1 à n) arg(1 - i/(n(n+1))) mod 2pi
= arg(z1) - somme(k=1 à n) arctan(1/(n(n+1))) mod 2pi

or on sait que arctan x ~ x en 0 donc arctan(1/n(n+1)) ~ 1/n² qui est le t.g d'une série convergente
donc l'argument converge bien lui aussi

finalement (zn) converge donc (an) et (bn) cvg

Le 05 juin 2019 à 02:13:28 Nathyll a écrit :
Ça semblait plus probable que ça soit l'autre version, zut

Bon du coup ça donne
zn+1 = an + i bn + (bn - i an) / (n(n+1))
= zn - i zn / (n(n+1))
= zn (1 - i/(n(n+1)))

avant toute chose on remarque que si z1 = 0 alors la suite est constante et converge, autrement elle n'est jamais nulle, dans le reste de la démo on suppose donc la suite jamais nulle

là en effet le module tend pas vers 0 par contre cette fois on voit que la partie de droite va tendre très rapidement (quadratiquement) (c'est important que ça soit rapide, avec du 1/ln ça divergerait) vers 1, sauf qu'on sait que arg(1) = 0 et donc on s'attend à ce que plus n deviendra grand, moins les points tourneront autour de l'origine, et plus le module se stabilisera (puisque +0 et *1), or on sait que si l'argument et le module convergent, alors le complexe converge

on commence par montrer la convergence du module, bon là c'est moins simple que tout à l'heure, le mieux ça reste d'exprimer explicitement |zn| en fonction de n, pour ça on voit clairement que

|zn+1|² = |z1|² produit(k=1 à n) 1 + 1/(n(n+1))²
ce produit infini converge, puisque :
produit des 1 + 1/(n(n+1))² = exp(somme des ln(1 + 1/(n(n+1))²))
et ln(1 + 1/(n(n+1))²) ~ 1/n⁴ et la série des 1/n⁴ converge bien
on en conclut que |zn| cvg

on montre maintenant la convergence de l'argument, on fera attention puisque les formules d'addition d'arguments ne fonctionnent que modulo 2pi, en particulier on peut pas utiliser d'inégalités, cette fois-ci on a
arg(zn+1) = arg(z1) + somme(k=1 à n) arg(1 - i/(n(n+1))) mod 2pi
= arg(z1) - somme(k=1 à n) arctan(1/(n(n+1))) mod 2pi

or on sait que arctan x ~ x en 0 donc arctan(1/n(n+1)) ~ 1/n² qui est le t.g d'une série convergente
donc l'argument converge bien lui aussi

finalement (zn) converge donc (an) et (bn) cvg

merci beaucoup pour l'aide et les explications en plus 🙏