Je galère sur ce problème. Soit p projection sur F // à G. On suppose que pour tout x ||p(x)|| =< ||x||
Montrer F ET G sont orthogonaux.

Y a aucune indication donc j'ai galéré a démarrer. J'ai pris f élément de F et g élément de G FIXÉ. Donc j'ai pu jouer sur x. En particulier j'ai pris x=f+g pour voir ce qui se passe. On a pas grand chose (une petite info seulement...) puis x=f-g
...

Bref on généralise naturellement en x=f+a*g avec a elemnt de R (pas précisé mais on est dans un R-e.v )
On obtient plus loin en partant de l'inégalité et en la developpant que :
<f,g> >=-(a/2)*||g||^2
Le but est d'avoir <f,g>=0.
Je vois pas où ça me mène ce que j'ai fait

D'autres idées plus fructueuses pliz ?

Si un khey passe par là pour me répondre avant l'aube ca serait vraiment super

Tu prends $f$ et $g$ respectivement dans $F$ et $G$. Le cas $g=0$ est trivial, donc il reste : http://sketchtoy.com/68953790

Cimer khey
Mais pourquoi prendre h=(<f,g>/||g||^2)*g fais qu'on a hortogonalité de f sur g autrement dit pourquoi f-h est alors ortho. à g ?

Moi la démo que je connais de ça s'inspire de celle de Cauchy Schwarz et à l'air de ressembler à la tienne. Je la ferzis plus tard si ça t'intéresse

D'ailleurs ce que tu montre est une équivalence puisque ça caractérise les projections orthogonales (parmi les projections)

Ça marche VDD, t'aurais compris le point que jai soulevé plus haut ?

Parce qu'on a retiré à f sa projection orthogonale sur vect(g) h donc f-h est orthogonale à g, si j'ai bien compris

Finalement, ça marche aussi ce que j'ai commencé à faire, on a :
2a*<f,g>+a^2*||g||^2 >= 0

=>polynôme en a de degré 2. Donc si <f,g> =/=0, le discriminant est négatif.
Ca voudrait dire que <f,g>^2 < 0. Ce qui est contradictoire.

Oui on arrive a 2a*<f,g>+a^2*||g||^2 >= 0 et a partir de la tu peux conclure de plein de façon.
Ca revient à a(2(f,g)+a||g||^2)>=0

En faisant tendre a vers 0+ on a donc 2(f,g)>=0
En faisant tendre a vers 0- on a 2(f,g)<=0
Donc (f,g)=0

Sinon avec le discriminant tu peux conclure aussi car il est <=0 et s'il est strictement négatif c'est absurde comme tu dis

Bref l'astuce c'est de mettre la variable du polynome devant le vecteur de Ker(p)

Bien vu le premier chemin avec l'idée de limite

Le 24 mai 2019 à 13:26:46 TheLelouch2 a écrit :
Oui on arrive a 2a*<f,g>+a^2*||g||^2 >= 0 et a partir de la tu peux conclure de plein de façon.
Ca revient à a(2(f,g)+a||g||^2)>=0

En faisant tendre a vers 0+ on a donc 2(f,g)>=0
En faisant tendre a vers 0- on a 2(f,g)<=0
Donc (f,g)=0

Sinon avec le discriminant tu peux conclure aussi car il est <=0 et s'il est strictement négatif c'est absurde comme tu dis

Bref l'astuce c'est de mettre la variable du polynome devant le vecteur de Ker(p)

tenders de poulet